Poes op muizenjacht.

12 sprongen.

Vierkant bedekken.

Er zijn zes oplossingen: 9 van 1$\times$1; 4 van 2$\times$2; 3 van 2$\times$2 en 1 van 1$\times$1; 1 van 2$\times$2 en 5 van 1$\times$1; 2 van 2$\times$2 naast elkaar en 3 van 1$\times$1; 2 van 2$\times$2 schuin tegenover elkaar en 2 van 1$\times$1.

Muntenstapeltje.

Als we met B, M en O achtereenvolgens de bovenste, middelste en onderste munt noteren, zijn er 14 volgordes die de stapel na vier keer ongewijzigd laten: BBBB, BBMM, BMBM, BMMB, BOOO, MBBM, MBMB, MMBB, MMMM, MOMO, OBOO, OMOM, OOOB, OOBO. In totaal zijn er 34 = 81 mogelijke volgordes. De kans is dus $\frac{14}{81}$.

Tulpenboeket.

Het grootste aantal boeketten dat de bloemist kan maken, is 6 (dit is de grootste gemene deler van 12, 30 en 42). Elk boeket bevat 12/6 = 2 witte, 30/6 = 5 gele en 42/6 = 7 roze tulpen.

Torentjes maken.

Schrijf $a_n$ voor het aantal torentjes dat je kunt maken met $n$ vierkantjes. Er geldt: $a_4 = 8, a_5 = 16$ en $a_6 = 32$. Dit zijn allemaal machten van 2; in het algemeen geldt $a_n = 2^{n–1}$. Dat kun je als volgt begrijpen. We weten dat de formule geldt tot en met 6 vierkantjes. Bij 7 vierkantjes heb je als eerste een horizontale rij van 7 (dat is er 1). Vervolgens start je met een horizontale rij van 6 als onderste. Dan heb je er nog 1 over: dat geeft $a_1$ mogelijkheden erbovenop. Vervolgens zet je een rij van 6 op de grond. Dan heb je $a_2$ mogelijkheden voor de overige 2 erbovenop. Enzovoort. Dat geeft dus: $a_7 = 1 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 1 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 64 = 26$. Zo vind je steeds, als je de vorige allemaal kent, bij de volgende een verdubbeling. Dit bewijsprincipe heet ‘volledige inductie’.