Opgave 1

Inhoud = $\pi r^2h$

$h=\frac{400}{\pi r^2}$

Opp$(r,h)=2\pi r^2+2\pi r h$

Opp$(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{400}{\pi r^2}$

Opp$'(r)=4\pi r-\frac{800}{r^2}=0 \to r^3=\frac{200}{\pi} \to r=\sqrt[3]{\frac{200}{\pi}}$

(En door de $=$ te vervangen door $<$ of $>$ en van rechts naar links te lezen krijg je)

Voor $r<\sqrt[3]{\frac{200}{\pi}}$ is Opp$'(r)<0$ en voor $r>\sqrt[3]{\frac{200}{\pi}}$ is Opp$'(r)>0$.

$h=\frac{400}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{200}{\pi}}\right)^2}=2\cdot\sqrt[3]{\frac{200}{\pi}}$ dus $h=2r$.

Opgave 2

Inhoud $=\pi r^2 h$

$h=\frac{400}{\pi r^2}$

Opp$(r,h)=\pi r^2+2\pi r h$

Opp$(r)=\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{400}{\pi r^2}$

Opp$'(r)=2\pi r-\frac{800}{r^2}=0\to r^3=\frac{400}{\pi} \to r=\sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}$

$h=\frac{400}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}\right)^2} =\sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}$ dus $h=r$.

Opgave 3

Inhoud $=\pi r^2 h$

Opp$(r,h)=\pi(r+h)^2$

Opp$'(r)=2\pi(r+h)\left(1-\frac{200}{\pi r^2}\right)$ en Opp$'(r)=0\to r^3=\frac{200}{\pi}$ en $r=\sqrt[3]{\frac{200}{\pi}}$

$h=\frac{100}{\pi\left(\frac{200}{\pi}\right)^2}$ en $h=\tfrac{1}{2}r$

Opgave 4

Noem de gekozen oppervlakte $A$, dus $a\times b=A$.

$b=\frac{A}{a}$

Omtrek$(a,b)=2a+2b$

Omtrek$(a)=2a+\frac{2A}{a}$

Omtrek$'(a)=2-\frac{2A}{a^2}=0\to a^2=A\to a=\sqrt{A}$

$b=\frac{A}{a}=\frac{A}{\sqrt{A}}=\sqrt{A}$ dus $a=b$.

Opgave 5

Noem de vaste inhoud van de doos $V$. Dan geldt $y^2c=V$.

$c=\frac{V}{y^2}$

Oppervlakte$(y,c)=2y^2+4yc$.

Oppervlakte$(y)=2y^2+4\frac{V}{y}$.

Oppervlakte$'(y)=4y-4\frac{V}{y^2}=0\to y^3=V$ en $y=\sqrt[3]{V}$.

$c=\frac{V}{\left(\sqrt[3]{V}\right)^2}=\sqrt[3]{V}$ en de doos is een kubus.

Opgave 6

Alle 11 uitslagen van een kubus hebben $5$ binnenribben en $14$ buitenribben die in paren aan elkaar vastgemaakt moeten worden. In die zin zijn ze allemaal gelijk maar om verspilling te vermijden zou ik kiezen voor een van de twee mogelijkheden hieronder.

Opgave 7

Inhoud $=\frac{X^2y}{4}-\frac{x^3}{8}$

$2x^2y-x^3=8000$

$y=\frac{4000}{x^2}+\frac{x}{2}$

Opp$(x,y)=2xy$

Opp$(x)=\frac{8000}{x}+x^2$

Opp$'(x)=-\frac{8000}{x^2}+2x=0\to x^3=4000$ en $x=\sqrt[3]{4000}$

$y=\frac{4000}{\left(\sqrt[3]{4000}\right)^2}+\frac{\sqrt[3]{4000}}{2}=\frac{3\sqrt[3]{4000}}{2}$ en $x:y=2:3\to$

de corresponderende verhouding in de doos is $1:2$.

Opgave 8

De hoogte van de piramide $=\sqrt{sd+d^2}$

De formule voor $d$ is dan $\frac{s^2}{3}\sqrt{sd+d^2}>s^2d\to\sqrt{sd+d^2}>3d$ en $d<\frac{s}{8}$.