Oplossing 354 [niveau oOO]

Links zie je een cirkel met twee lijnstukken die loodrecht op elkaar staan. Wat is de straal van de cirkel?
Oplossing. Noem het middelpunt van de cirkel $M$, en de drie op de cirkel gemarkeerde punten $A$, $B$ en $C$. Het middelpunt van lijnstuk $AC$ noemen we $L$. Omdat driehoek $AMC$ gelijkbenig is, staat $LM$ loodrecht op $AC$. Omdat $|AC| = 20$, is $|AL| = 10$. We noemen de straal van de cirkel $r$ en de lengte van het lijnstuk $LM$ noemen we $x$. Met Pythagoras vinden we $x^2 + 102 = r^2$ en $(x + 2)^2 + 62 = r^2$. Door het verschil te nemen van deze twee vergelijkingen vinden we $4x + 40 = 100$, ofwel $x = 15$. Dan volgt $r^2 = 325$ en dus $r = 5\sqrt{13}$.

 

Oplossing 355 [niveau oOO]

Hoe vaak per dag staan de grote en kleine wijzer van een klok precies loodrecht op elkaar?
Oplossing. Als de kleine wijzer (uren) eenmaal rond gaat, dan gaat ondertussen de grote wijzer minuten) 12 maal rond. Dus in 12 uur tijd haalt de grote wijzer de kleine wijzer 11 maal in. In zo’n periode (12/11 uur) staat de grote wijzer eenmaal 90° na de kleine wijzer en eenmaal 90° voor de kleine wijzer. Een etmaal beslaat twee periodes van 12 uur, dus gedurende een etmaal maken de grote en kleine wijzer 44 maal een hoek van 90°.

 

Oplossing 356 [niveau ooO]

Een $n$-piramide is een piramide zoals in de figuur rechts. De piramide bestaat uit $n$ rijen witte blokjes (in de figuur is $n = 5$, maar deze opgave gaat over algemene $n$). De bovenste rij heeft $1$ blokje, de tweede rij $3$ blokjes, de derde rij $5$ blokjes, ..., de $n$-de rij $2n – 1$ blokjes. Het middelste blokje van elke rij ligt steeds precies onder het blokje in de bovenste rij. We leggen een aantal groene rechthoeken van vier naastgelegen blokjes neer. Die rechthoeken moeten allemaal helemaal in de piramide liggen en verschillende rechthoeken mogen elkaar niet overlappen. In de figuur zijn twee van zulke rechthoeken getekend. Wat is het kleinst mogelijke aantal blokjes van een $n$-piramide dat niet door een groene rechthoek wordt overdekt?
Oplossing. Kleur de blokjes van de $n$-piramide zoals in de linkerfiguur hieronder. In elke rij is het eerste blokje geel, het volgende blokje blauw, dan volgt rood en ten slotte paars. Dan beginnen we weer van voren af aan, en herhalen dit tot de hele rij gevuld is. Door deze kleuring staan overal op vier opeenvolgende blokjes de vier verschillende kleuren geel, blauw, rood en paars. We gaan de blokjes met groene rechthoeken horizontaal beplakken, zó dat alle paarse blokjes worden overdekt: zie de rechterfiguur. Er kan op geen enkele manier een extra groene rechthoek worden gebruikt. Bij de oneven rijen blijft één blokje over (geel), bij de even rijen blijven drie blokjes over (geel, blauw en rood). Je kunt de blokjes ook verticaal met groene rechthoeken beplakken, maar dit is altijd onvoordeliger dan het plakken in horizontale richting. Conclusie: het aantal blokjes dat niet wordt overdekt, is voor een $1$-piramide $1$, voor een $2$-piramide $4$, voor een $3$-piramide $5$, voor een $4$-piramide $8$, en voor een $n$-piramide is het $2n – 1$ als $n$ oneven is, en $2n$ als n even is.

Oplossing 357 [niveau ooO]

Op een eiland leven drie soorten mensen: mensen die uitsluitend de waarheid spreken, mensen die soms de waarheid spreken en soms liegen, en mensen die uitsluitend liegen. Mensen die tot dezelfde soort behoren, dragen allemaal eenzelfde kleur pet. Er zijn gele, rode en blauwe petten. Een toerist die het eiland bezoekt, is niet op de hoogte welke kleur bij welke groep hoort. De toerist ziet drie mannen met verschillend gekleurde petten. De man met de rode pet zegt tegen de toerist: ‘Ik lieg vaker dan iemand met een gele pet.’ Daarna zegt de man met de blauwe pet: ‘De man met de rode pet heeft zojuist gelogen.’ Tot slot zegt de man met de gele pet: ‘Precies een van de twee mannen met de rode en blauwe pet heeft zojuist gelogen.’ Kan de toerist nu bepalen bij welke soorten mensen de petkleuren horen?
Oplossing. Iemand die de waarheid spreekt, zal nooit zeggen dat hij vaker liegt dan iemand anders. Iemand die altijd liegt, spreekt de waarheid als hij zegt dat hij vaker liegt dan iemand anders. Zodoende is de persoon met de rode pet de persoon die soms de waarheid spreekt en soms liegt. Als de persoon met de blauwe pet de waarheid spreekt, dan heeft de persoon met de rode pet klaarblijkelijk gelogen. Dus dan spreekt de persoon met de blauwe pet altijd de waarheid. Maar dat klopt niet met het feit dat hij zojuist heeft gelogen. Als de persoon met de blauwe pet heeft gelogen, dan heeft de persoon met de rode pet kennelijk de waarheid gesproken. Conclusie: rode-pet-dragers spreken soms de waarheid, blauwe-pet-dragers liegen altijd en gele-pet-dragers spreken altijd de waarheid.