Vind alle gehele getallen $n$ waarvoor geldt:

$$ \textcolor{violet}{\max(}\textcolor{red}{2n-11+2n^6} \textcolor{violet}{, } \,\textcolor{orange}{ 2}\max(\textcolor{blue}{n-7+n^6}, \textcolor{green}{5-2n+\mathbf{6}n^6})\textcolor{violet}{)} \leq  \textcolor{purple}{2n^6} \, .$$
Hierbij staat $\max(a,b)$ voor het maximum, dus de grootste, van de getallen $a$ en $b$. Bijvoorbeeld, $\max(3,5) = 5$, $\max(-3,-5) = -3$ en $\max(3,3) = 3$.

Oplossing: De opgave is door de toegevoegde 6 (vetgedrukt) anders dan opgave 381.

We maken gebruik van drie rekenregels voor de functie max die eenvoudig te verifiëren zijn:

1. voor $a \leq 0$ geldt $a \max(b,c) = \max(ab,ac)$,
2. voor alle $a$ geldt $a+ \max(b,c) = \max(a+b,a+c)$ en
3. $\max(a, \max(b,c)) = \max(\max(a,b),c) = \max(a,b,c)$.

Het linkerlid kunnen we herschrijven tot $\max(2n-11+2n^6,2n-14+2n^6,10-4n+12n^6)$. Merk op dat $2n-11+2n^6 > 2n-14+2n^6$. Zodoende reduceert de ongelijkheid tot $\max(2n-11+2n^6,10-4n+12n^6) \leq 2n^6$. Vervolgens trekken we aan beide zijden van de ongelijkheid $2n^6$ af. We hebben nu  $\max(2n-11,10-4n+10n^6) \leq 0$. Nu geldt echter dat $10-4n+10n^6$ uitsluitend positieve waarden heeft. Immers we kunnen de functie $f(x) = 10-4n+10n^6$ onderzoeken. Zowel als $x$ naar $+\infty$ als naar $-\infty$ gaat gaat de functiewaarde naar $\infty$. Vervolgens bepalen we het minimum door de afgeleide te bepalen: $f'(x) = -4+60x^5$. Als de afgeleide 0 is neemt de functie het minimum aan. Dit is voor $x = \sqrt[5]{\frac{1}{15}}$. De bijbehorende functiewaarde is $f(\sqrt[5]{\frac{1}{15}}( \approx 8,06$. Er zijn geen oplossingen.