Opgave 461

Ja, dat is mogelijk. Een voorbeeld wordt hiernaast gegeven.

 

Opgave 462

Nee, dat is niet mogelijk. Een snelle manier om dit in te zien is als volgt. De getallen $301$ en $2021$ zijn beide deelbaar door $43$. Als een paar getallen $(a,b)$ op het bord staat en na een stap verandert in het paar $(a+b,b)$ waarin $a+b$ en $b$ beide deelbaar zijn door $43$, dan moet $a = (a+b) - b$ dat ook wel zijn geweest. Het paar $(301,2021)$ kan dus enkel gevormd zijn uit paren waarvan beide getallen deelbaar waren door 43, maar dat is voor het paar $(20,21)$ duidelijk niet het geval. 

Opgave 463

Doordat de uiteindes van de wieken elkaar precies kunnen raken, evenals de centra van de windmolens, kan dit raakpunt met deze centra een gelijkzijdige driehoek vormen. Omdat de wieken van elke windmolen loodrecht op elkaar staan, is de ingesloten vierhoek in dit geval dus gelijk aan twee halve gelijkzijdige driehoeken die met de lange zijde aan elkaar geplakt zijn. Omdat de wieken 50 meter lang zijn, wordt de oppervlakte van deze vierhoek precies $50 \cdot (50 / \sqrt{3}) = 2500\sqrt{3}/3$. 

Je kan nagaan dat er op geen enkel ander tijdstip door de wieken een vierhoek wordt ingesloten. Dit kun je bijvoorbeeld checken met GeoGebra, of misschien maak je het zelf wel van stokjes en papier! Daarom is de hierboven berekende oppervlakte direct de minimale oppervlakte. 

Opgave 464

Voor het gemak schrijven we $\text{som}(n)$ voor de som van de cijfers van een positief geheel getal $n$. Stel nu dat de getallen $n, n+1, \ldots, n+38$ allemaal een som van de cijfers niet deelbaar door $11$ hebben. Laat $t$ het kleinste getal zijn in deze lijst dat eindigt op een nul. Dan moet zeker gelden dat $t \leq n+9$. 

Verder moet ${\rm som}(t)$ wel precies rest $1$ geven bij deling door $11$. Beschouw namelijk de getallen $t, t+1,\ldots,t+9$. Voor deze getallen geldt dat ${\rm som}(t+i) = {\rm som}(t) + i$ omdat $t$ eindigt op een nul. Als ${\rm som}(t)$ dus een andere rest zou geven bij deling door $11$, zou een van die getallen rest $0$ hebben; een tegenspraak.

We kunnen ditzelfde argument gebruiken voor het getal $t+10$, dat ook eindigt op een nul. We concluderen dat ${\rm som}(t+10)$ ook rest $1$ moet geven bij deling door $11$. Als het voorlaatste cijfer van $t$ echter geen $9$ is, dan zou gegolden hebben dat ${\rm som}(t+10) = {\rm som}(t) + 1$. Dit zou echter in tegenspraak zijn met de resten bij deling door $11$, en dus moet dat voorlaatste cijfer van $t$ wel een $9$ zijn.

Nu weten we dus dat $t+10$ een getal is dat eindigt op twee nullen en de som van de cijfers heeft rest $1$ bij deling door $11$. Het getal $(t+10) + 19$ heeft dus ${\rm som}(t+10) + 10$, wat rest $11 = 0$ geeft bij deling door $11$. We zien echter dat $t + 29 \leq n + 38$, wat in tegenspraak is met onze aanname. Dit bewijst de opgave.

Om een voorbeeld te vinden voor $38$ zulke opeenvolgende getallen, gebruiken we de redenatie van hierboven. We zoeken een $t$ die eindigt op $90$ met som van de cijfers rest $1$ bij deling door $11$ zodat $t+10$ dat ook heeft. Dit kan enkel gebeuren als er aardig wat negens achter elkaar in nullen veranderen. Een negen die in een nul verandert, zorgt ervoor dat de rest van de som van de cijfers met $2$ toeneemt. Ten slotte neemt het eerste niet-$9$ cijfer met precies $1$ toe. We zien dat vijf negens precies een verandering van $2 \cdot 5 + 1 = 11 = 0$ in de rest teweeg brengen. Een voorbeeld van $38$ opeenvolgende getallen met de gevraagde eigenschap is dus de reeks getallen van $999981$ tot en met $1000018$. Ter illustratie geldt hier dus $t = 999990$.