Pythagoras Olympiade 61-2, november 2021

Pythagoras Olympiade 61-2, november 2021

Opgave 461 [oOO]

Kun je zeven vakjes in een $4\times4$ rooster blauw kleuren zodat er altijd minstens één blauw vakje overblijft als je twee kolommen en twee rijen verwijdert?

 

Opgave 462 [oOO]

Op het bord staan de getallen $20$ en $21$. We mogen herhaaldelijk de volgende handelingverrichten: tel de twee getallen bij elkaar op en vervang een van de twee getallen op het bord door de uitkomst van die optelsom. 

Kunnen we zo ooit het paar $301$, $2021$ op het bord krijgen?

Opgave 463 [ooO]

Je ziet twee even grote windmolens met vier kaarsrechte wieken elk van 50 meter lang. Deze wieken draaien op dezelfde wind met gelijke snelheden in dezelfde richting. Je staat op nogal een bijzondere plek: vanuit jouw oogpunt kan het uiteinde van de wieken van de ene windmolen precies het midden van de andere windmolen raken.
De uiteindes van twee van de wieken van de windmolens kunnen elkaar ook precies raken. Soms sluiten de wieken een vierhoek in, zie het plaatje. Wat is de minimale
oppervlakte van deze vierhoek?

 

Opgave 464 [ooO]

Beschouw $39$ opeenvolgende positieve gehele getallen. Bewijs dat de som van de cijfers van minstens één van deze getallen deelbaar is door $11$. Bonuspunt: Geef
tevens een voorbeeld van $38$ opeenvolgende getallen waarin dit nergens gebeurt.