Opgave 489

Vermenigvuldigen we de vergelijking $x + y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ aan beide kanten met $xy$, dan vinden we dat $(x + y)xy = y + x = x + y$. Halen we nu $x+y$ naar de andere kant dan zien we dat $(x + y)xy - (x + y) = (x + y)(xy - 1) = 0$. Er zijn nu twee mogelijkheden: ofwel $x + y = 0$, wat betekent dat $x = -y$, ofwel $xy - 1 = 0$, wat betekent dat $x = \frac{1}{y}$. Merk op dat $x$ en $y$ beiden ongelijk aan $0$ zijn.

Opgave 490

We drukken zoveel mogelijk hoeken uit in termen van $\angle DAC$. Wegens gelijkbenigheid van $\triangle ACD$ geldt $\angle DAC = \angle DCA$.

Omdat $ABCD$ een koordenvierhoek is, geldt $\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$. Verder geldt in de driehoek $\triangle ABC$ dat $\angle CAB + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$. Combineren we deze twee vergelijkingen dan vinden we $\angle ABC = \angle DCA + \angle DAC = 2\angle DAC$. Wegens gelijkbenigheid van $\triangle ABC$ geldt nu ook dat $\angle BCA = 2\angle DAC$.

De constantehoekstelling vertelt ons nu dat ook $\angle BDA = 2 \angle DAC$. Omdat $\angle BCD = \angle DCA + \angle BCA = 3\angle DAC$, is dit wegens gelijkbenigheid van driehoek $\triangle BCD$ ook waar voor $\angle CDB$.

We weten nu bijna alle hoeken: $\angle ABC = 2 \angle DAC$, $\angle BCD = 3 \angle DAC$, $\angle CDA = 5 \angle DAC$. Vanwege de koordenvierhoekstelling geldt $\angle ABC + \angle CDA = 7 \angle DAC = 180^{\rm o}$, dus geldt $\angle ABC = 360^{\rm o} / 7$, $\angle BCD = 540^{\rm o} / 7$, $\angle CDA = 900^{\rm o} / 7$. Tenslotte vinden we nog dat $\angle DAB = 180^{\rm o} - \angle BCD = 720^{\rm o} / 7$.

Opgave 491

We gebruiken de formules van Simpson:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} $$

$$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C + D}{2} \cos \frac{C - D}{2}.$$

Hiermee volgt uit $\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0$ dat

$$2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} = -2 \cos \frac{C + D}{2} \cos \frac{C - D}{2}.$$

Omdat $A + B + C + D = 360^{\rm o}$, geldt dat $\frac{A + B}{2} = 180^{\rm o} - \frac{C + D}{2}$ en dus $\cos \frac{A + B}{2} = -\cos \frac{C + D}{2}$. De bovenstaande vergelijking heeft dus twee mogelijkheden: $\cos \frac{A + B}{2} = 0$ of $\cos \frac{A - B}{2} = \cos \frac{C - D}{2}$. In het eerste geval geldt, omdat $A, B$ tussen $0^{\rm o}$ en $180^{\rm o}$ zijn, dat $A + B = 180^{\rm o}$, in welk geval $ABCD$ een trapezium is ($AD$ en $BC$ lopen dan parallel). In het tweede geval vinden we dat $A - B = C - D$ of $A - B = D - C$. Gecombineerd met $A + B + C + D = 360^{\rm o}$ leidt dit tot $A + D = 180^{\rm o}$ (een trapezium met $AB$ en $CD$ parallel) of $A + C = 180^{\rm o}$ (een koordenvierhoek).

Opgave 492

Definieer $x_n = (2n + 1)(2n + 4)$ en $y_n = (2n + 3)^2$. We zoeken naar de limiet van de rij

$$\sqrt{x_0}, \sqrt{x_0 + \sqrt{x_1}}, \sqrt{x_0 + \sqrt{x_1 + \sqrt{x_2}}}, \dots.$$

We bekijken eerst de rij

$$\sqrt{y_0}, \sqrt{x_0 + \sqrt{y_1}}, \sqrt{x_0 + \sqrt{x_1 + \sqrt{y_2}}}, \dots.$$

Er geldt dat $\sqrt{y_0} = 3$. Merk op dat

$$x_{n} + \sqrt{y_{n+1}} = (2n+1)(2n+4) + \sqrt{(2n+5)^2} = 4n^2 + 10n + 4 + 2n + 5 = (2n+3)^2 = y_n,$$

en dus is elk getal in deze tweede rij gelijk aan diens voorganger, waarmee de hele rij gelijk moet zijn aan $3$.

Als tweede stap laten we zien dat de getallen uit de eerste rij willekeurig dicht bij de tweede rij komen. We bouwen hiervoor de wortels stap voor stap op. Het verschil tussen $y_n$ en $x_n$ is precies $2n+5$. Het verschil tussen $\sqrt{y_n}$ en $\sqrt{x_n}$ is dan hoogstens

$$\sqrt{y_n} - \sqrt{x_n} = \frac{y_n - x_n}{\sqrt{y_n} + \sqrt{x_n}} \leq \frac{2n+5}{2},$$

dat wil zeggen, het verschil is ten minste een factor twee kleiner. Gaan we verder, dan zien we dat

$$\sqrt{x_{n-1} + \sqrt{y_n}} - \sqrt{x_{n-1} + \sqrt{x_n}} = \frac{x_{n-1} + \sqrt{y_n} - (x_{n-1} + \sqrt{x_n})}{\sqrt{x_{n-1} + \sqrt{y_n}} + \sqrt{x_{n-1} + \sqrt{x_n}}} \leq \frac{\sqrt{y_n} - \sqrt{x_n}}{2} \leq\frac{2n+5}{4},$$

en het verschil neemt weer met minstens een factor twee af. Omdat we in totaal $n+1$ worteltekens hebben, zien we dat het verschil tussen

$$\sqrt{x_0 + \sqrt{x_1 + \sqrt{x_2 + \sqrt{\dots + \sqrt{x_n}}}}} \text{ en } \sqrt{x_0 + \sqrt{x_1 + \sqrt{x_2 + \sqrt{\dots + \sqrt{y_n}}}}} = 3$$

maximaal $\frac{2n + 5}{2^{n+1}}$ is. Dit verschil wordt willekeurig klein als $n$ groter wordt, dus komt de oorspronkelijke rij willekeurig dicht bij $3$.