Opgave 493 ^[oOO]

Omdat in de getallen $2$, $12$, $20, 21, 22$ en $23$ een twee zit, zal er tijdens deze zes uren altijd een twee in de tijd zitten. Dit levert reeds $6 \cdot 60 = 360$ tijdstippen met een twee erin. Veronderstel nu dat er zich in het urental geen twee bevindt. Omdat er in enkel de getallen $2$, $12$, $20 \ldots, 29$, $32$, $42$ en $52$ een twee zit, wat 15 getallen zijn, vinden we zo voor de overige 18 uren in totaal nog $18 \cdot 15 = 270$ tijdstippen met een twee erin. In totaal levert dat $360+270 = 630$ tijdstippen.

Opgave 494 ^[oOO]

Men kan berekenen dat

$$\sqrt[3]{10000} > 21 \quad \text{en} \quad \sqrt[3]{99999} < 47.$$

We beperken onze blik dus tot de getallen $\{ 22, 23, \ldots, 46, 47 \}$. Deze getallen een voor een proberen levert vlug dat

$$(1 + 7 + 5 + 7 + 6)^3 = 26^3 = 17576$$

een geldige oplossing is. Men kan nagaan dat deze oplossing zelfs uniek is.

Opgave 495 ^[ooO]

In totaal worden er door 31 kinderen $31 \cdot 5 = 155$ getallen opgeschreven. Al deze getallen komen uit de verzameling $\{ 1, 2, \ldots, 24, 25 \}$, dus omdat $155/25 > 6$, moet er volgens het ladenprincipe minstens een getal zijn dat door minstens 7 verschillende kinderen wordt opgeschreven. Neem zonder verlies van algemeenheid aan dat dit het getal 1 is en beschouw deze zeven kinderen. In totaal staan er nog $7 \cdot 4 = 28$ andere getallen op hun blaadjes, terwijl we enkel nog uit de getallen $\{ 2, 3, \ldots, 23, 24 \}$ kunnen kiezen. Dit betekent dat er minstens twee kinderen moeten zijn waarvan de vier overige getallen op hun blaadjes een getal gemeen hebben. Omdat ze per aanname ook het getal 1 gemeen hadden, vinden we twee kinderen met twee overeenkomstige getallen op hun blaadjes. 

Voor een voorbeeld om te laten zien dat het met 30 kinderen wel kan, rangschik de getallen 1 tot en met 25 in een vierkant. We vinden dan een voorbeeld door blaadjes te maken met getallen daarop voor elk van de volgende zes configuraties, evenals voor elke configuratie dezelfde configuratie enkele vakjes opzij verschoven. Dit levert in totaal $6 \cdot 5 = 30$ blaadjes; men kan nagaan dat deze nooit meer dan 1 getal delen.

$\color{\white}{1}$	$2$	$3$	$4$	$5$		$1$	$2$	$3$	$4$	$5$		$1$	$2$	$3$	$4$	$\color{\white}{5}$		$1$	$2$	$\color{\white}{3}$	$4$	$5$		$1$	$2$	$3$	$\color{\white}{4}$	$5$		$1$	$\color{\white}{2}$	$3$	$4$	$5$
$\color{\white}{6}$	$7$	$8$	$9$	$10$		$6$	$7$	$8$	$9$	$10$		$6$	$7$	$8$	$\color{\white}{9}$	$10$		$6$	$7$	$8$	$9$	$\color{\white}{10}$		$6$	$\color{\white}{7}$	$8$	$9$	$10$		$6$	$7$	$\color{\white}{8}$	$9$	$10$
$\color{\white}{11}$	$12$	$13$	$14$	$15$		$11$	$12$	$13$	$14$	$15$		$11$	$12$	$\color{\white}{13}$	$14$	$15$		$11$	$\color{\white}{12}$	$13$	$14$	$15$		$11$	$12$	$13$	$14$	$\color{\white}{15}$		$11$	$12$	$13$	$\color{\white}{14}$	$15$
$\color{\white}{16}$	$17$	$18$	$19$	$20$		$16$	$17$	$18$	$19$	$20$		$16$	$\color{\white}{17}$	$18$	$19$	$20$		$16$	$17$	$18$	$\color{\white}{19}$	$20$		$16$	$17$	$\color{\white}{18}$	$19$	$20$		$16$	$17$	$18$	$19$	$\color{\white}{20}$
$\color{\white}{21}$	$22$	$23$	$24$	$25$		$\color{\white}{21}$	$\color{\white}{22}$	$\color{\white}{23}$	$\color{\white}{24}$	$\color{\white}{25}$		$\color{\white}{21}$	$22$	$23$	$24$	$25$		$\color{\white}{21}$	$22$	$23$	$24$	$25$		$\color{\white}{21}$	$22$	$23$	$24$	$25$		$\color{\white}{21}$	$22$	$23$	$24$	$25$

Voor de wiskundigen: deze constructie werkt omdat deze configuraties overeenstemmen met alle 30 affiene deelruimten van $\mathbb{F}_5 \times \mathbb{F}_5$ en twee zulke deelruimten kunnen elkaar snijden in hoogstens een enkel punt.

Opgave 496 ^[ooO]

Neem zonder verlies van algemeenheid aan dat de kubus zijdelengte $4$ heeft. We plaatsen de kubus dan zo in een assenstelsel met het punt $D$ in de oorsprong:
$$
A = (4,0,0), \quad B = (4,4,0), \quad C = (0,4,0), \quad D = (0,0,0), \\
E = (4,0,4), \quad F = (4,4,4), \quad G = (0,4,4) \quad H = (0,0,4).
$$

We beweren dat de volgende keuze van punten een vierkant voortbrengt:
$$P = (4,0,3), \quad Q = (4,3,0), \quad R = (0,4,1), \quad S = (0,1,4). $$

Hiertoe moeten we een aantal zaken nagaan. Laten we allereerst verifi\"eren dat deze vier punten zich in hetzelfde vlak bevinden. Dit is eenvoudig; men kan nagaan dat alle punten voldoen aan de vergelijking

$$x + 2y + 2z = 10.$$

Vervolgens verifieert men dat

$$|PQ| = |QR| = |RS| = |SP| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{4^2 + 1^2 + 1^2} = 3\sqrt{2}.$$

De vierhoek is derhalve een ruit. Om te concluderen dat het een vierkant is, volstaat het dan om te laten zien dat de beide diagonalen even lang zijn. Inderdaad, we berekenen vlug dat

$$|PR| = |QS| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = 6.$$

Dit voltooit het bewijs.