Opgave 501 ^[oOO]

Er zijn $3$ gevallen mogelijk, namelijk dat Bas tussen $0$ en $10$ minuten na het uur aankomt, dat hij tussen $10$ en $30$ minuten aankomt en tussen $30$ minuten en $0 = 60$ minuten aankomt. Het eerste geval heeft kans $\tfrac{1}{6}$, het tweede geval kans $\tfrac{1}{3}$ en het derde geval kans $\tfrac{1}{2}$. De gemiddelde wachttijd in het eerste geval is $5$ minuten, in het tweede geval $10$ minuten en in het derde geval $15$ minuten. Hierom is Bas' gemiddelde wachttijd:

$\frac{1}{6}\cdot 5+\frac{1}{3}\cdot 10+\frac{1}{2}\cdot 15 = \frac{70}{6} = 11\frac{2}{3}$ minuten = $11$ minuten en $40$ seconden.

Opgave 502 ^[oOO]

In de figuur hiernaast staat hetzelfde vierkant nog een keer getekend. We zien dat 2 driehoeken van dezelfde kleur dezelfde oppervlakte hebben. Immers is hun basis even lang en hebben ze dezelfde hoogtelijn, dus ook dezelfde oppervlakte. Noem nu even $V_r$ de oppervlakte van een rode driehoek, $V_g$ de oppervlakte van een groene driehoek, $V_b$ de oppervlakte van een blauwe driehoek en $V_o$ de oppervlakte van een oranje driehoek.

We zijn nu geïteresseerd in $V_r + V_g$. Ook zien we dat $V_g + V_b = 32$ en $V_b + V_o = 20$ en $V_o + V_r = 16$. Daarmee is dus

$$V_r + V_g = (V_o + V_r) + (V_g + V_b) - (V_b + V_o) = 16 + 32 - 20 = 28.$$

De gevraagde oppervlakte is dus $28$ cm².

Opgave 503 ^[ooO]

Noem $Q$ het punt op $AC$ zodat $PQ \parallel AB$. Noem analoog $R$ het punt op $BC$ zodat $PR \parallel AB$. Nu liggen natuurlijk $P, Q$ en $R$ op een lijn. Ook zien we omdat $M$ het midden is van $AB$ en dat $P$ het midden is van $QR$. Verder zien we met F-hoeken dat $\angle EQP = \angle EAB$ en $\angle EPQ = \angle EBA$ dus is $\triangle EPQ \sim \triangle EBA$. Analoog is natuurlijk $\triangle DPR \sim \triangle DAB$. Nu vinden we dat

$$\frac{|EB|}{|EP|}=\frac{|AB|}{|QP|}=\frac{|AB|}{|PR|}=\frac{|DA|}{|DP|}.$$

Als we $1$ van deze breuk aftrekken, dan krijgen we dat

$$\frac{|BP|}{|EP|}=\frac{|EB|}{|EP|}-1=\frac{|DA|}{|DP|}-1=\frac{|AP|}{|DP|}.$$

Verder weten we natuurlijk dat $\angle DPE = \angle APB$. Met deze verhoudingen zien we daarom dat $\triangle APB \sim \triangle DPE$. Dat geeft dat

$$\angle ADE = \angle PDE = \angle PAB = \angle DAB.$$

Dit zijn precies Z-hoeken, dus volgt dat $DE \parallel AB$. We concluderen dat $DE$ evenwijdig is aan $AB$.

Opgave 504 ^[ooO]

We zien ten eerste dat er voor $N = 13$ een rijtje te vinden is, namelijk $114, 115, \dots , 126$. Nu zijn namelijk $114, 116, 118, 120, 122, 124$ en $126$ deelbaar door $2$. Ook zijn $117$ en $123$ deelbaar door $3$. Verder is $115$ deelbaar door $5$, $119$ deelbaar door $7$ en $121$ deelbaar door $11$, dus dit rijtje voldoet. We zullen nu uit het ongerijmde bewijzen dat $N = 13$ ook maximaal is. 

Stel dat er nog een grotere $N$ is die voldoet. We kunnen nu altijd een rijtje van $14$ getallen vinden dat voldoet (we nemen namelijk de eerste $14$ getallen uit een langer rijtje dan nodig). Zeg dat dit rijtje getallen de getallen $x + 1, x + 2, \dots, x + 14$ zijn. We zien als $x$ oneven is dat het rijtje $x + 2, \dots, x + 15$ ook werkt, omdat $x + 15$ dan even is. Neem dus zonder verlies van algemeenheid aan dat $x$ even is. We gaan nu voor $2, 3, 5, 7$ en $11$ kijken hoe vaak ze de kleinste priemdeler kunnen zijn van de getallen uit dit rijtje. 

• Voor het priemgetal $2$ zien we dat er altijd precies $7$ getallen even zijn, dus is $2$ precies $7$ keer de kleinste priemdeler.
• Voor het priemgetal $3$ vinden we altijd $4$ of $5$ veelvouden van $3$ in het rijtje. Daarvan zijn er echter minstens $2$ even, dus kan $3$ maar bij hooguit $3$ getallen in het rijtje de kleinste priemdeler zijn.
• Voor het priemgetal $5$ zien we dat hij $2$ of $3$ getallen deelt. Wederom is er echter minstens $1$ getal even, dus kan hij maar bij hooguit $2$ getallen de kleinste priemdeler zijn. 
• Voor $7$ en $11$ zien we dat ze allebei hooguit $2$ getallen uit het rijtje kunnen delen. Maar als ze er $2$ delen is $1$ daarvan even, dus kunnen ze allebei maar hooguit 1 keer de kleinste priemdeler zijn.

Elk getal uit het rijtje is deelbaar door $2, 3, 5, 7$ of $11$ en heeft dus $1$ van deze priemgetallen als kleinste priemdeler. Echter zagen we hierboven dat $2$ maar hooguit $7$ keer, $3$ maar hooguit $3$ keer, $5$ maar hooguit $2$ keer en $7$ en $11$ maar hooguit $1$ keer de kleinste priemdeler kunnen zijn. In totaal geeft dit maar hooguit $$7 + 3 + 2 + 1 + 1 = 14$$ keer een kleinste priemdeler, dus moet elk priemgetal het maximale aantal keer de kleinste priemdeler zijn. In het bijzonder is $3$ precies $3$ keer de kleinste priemdeler en $5$ precies $2$ keer. Dit betekent dat $3$ precies $5$ getallen uit het rijtje deelt, dus dat zijn of $x+1, x+4, x+7, x+10$ en $x+13$ of $x+2, x+5, x+8, x+11$ en $x+14$. In het tweede geval zijn $x+2, x+8$ en $x+14$ echter even, dus werkt dat ook niet. Daarom moet $3$ de getallen $x + 1, x + 4, x + 7, x + 10$ en $x + 13$ delen. Voor $5$ geldt analoog dat hij $3$ getallen uit het rijtje moet delen en hooguit $1$ mag even zijn. Dat geeft mogelijkheden $x + 1, x + 6, x + 11$ en $x + 3, x + 8, x + 13$ (bij de andere $2$ mogelijkheden zijn er $2$ veelvouden even). We zien echter dat $3$ een deler is van zowel $x + 1$ als $x + 13$. In de eerste mogelijkheid kan dus $5$ alleen de kleinste priemdeler zijn van $x+11$ en in de tweede alleen van $x+3$. Hij moest echter $2$ keer de kleinste priemdeler zijn, dus we concluderen dat er geen langer rijtje dan $N = 13$ kan voldoen.