Opgave 565 ^[oOO]

Het kleinst mogelijke getal van de gevraagde vorm is $11000000011$. Aangezien $11000000011 = 11000000000 + 11 = 11(1000000000+1)$ is het ook een veelvoud van 11.

Opgave 566 ^[oOO]

Een getal $n$ is fraai als en slechts als $n^2-1$ deelbaar is door $24$. Hiervoor is het nodig en voldoende dat $n^2-1$ deelbaar is door $3$ en door $8$. We gaan ook gebruiken dat $n^2-1 = (n-1)(n+1)$, een product van twee getallen die $2$ uit elkaar liggen.\\
Omdat $n-1$, $n$ en $n+1$ drie opeenvolgende gehele getallen zijn, is precies één ervan deelbaar door $3$. Als dat $n$ is, is $(n-1)(n+1)$ dus niet deelbaar door $3$. Is $n$ niet het drievoud, dan is $(n-1)(n+1)$ wel deelbaar door $3$.\\
Merk verder op dat $n-1$ en $n+1$ beide oneven zijn, of beide even. In het eerste geval is hun product oneven en dus zeker geen veelvoud van $8$. In het tweede geval zien we dat één van de twee een veelvoud van $4$ is en hun product dus een veelvoud van $8$.\\
Samengevat is $n$ een fraai getal als en slechts als $n$ geen drievoud is en geen tweevoud. Modulo $6$ zijn het precies $1$ en $5$ die voldoen. In elk groepje van zes opeenvolgende getallen zitten er dus juist twee fraaie. De getallen $1$ tot en met $2025$ kunnen we schrijven als $1$, $2$, $3$ en dan $337$ zulke groepjes van zes. Daarin zitten dus $1+337\times 2 = 675$ fraaie getallen.

Opgave 567 ^[ooO]

We tonen dat eender welk geheel getal $n$ groter dan $1$ na één of drie stappen omgezet kan worden naar een strikt kleiner getal verschillend van $0$. Door dit lang genoeg vol te houden, moeten we zo wel bij $1$ uitkomen.

Als $n$ even is, dan volstaat één stap omdat $0<\frac{n}{2}<n$.

Als $n$ oneven is, dan $3n$ ook, en dus zijn $3n-1$ en $3n+1$ even. Bovendien is één van de twee een viervoud, omdat hun verschil $2$ is. Als Robin dit viervoud kiest, wordt $n$ na drie stappen omgezet naar $\frac{3n\pm 1}{4}\neq 0$. En  $\frac{3n\pm 1}{4}<n$ omdat $\pm 1 < n$.

Opgave 568 ^[ooO]

Als er een paar zijden van de vierhoek evenwijdig is, dan vallen de bijhorende loodrechte rechten samen. Ze vormen een symmetrieas van de figuur en door die symmetrie is het duidelijk dat de loodrechte rechten op het andere zijdenpaar door hetzelfde punt van die symmetrieas zullen gaan. In dat geval is de opgave dus opgelost. We veronderstellen nu verder dat de vierhoek geen evenwijdige zijdenparen heeft.

We noemen $O$ het middelpunt van de omgeschreven cirkel, $M_1 \in l_1$ het midden van $AB$, $M_3 \in l_3$ het midden van $CD$ en $S$ het snijpunt van $l_1$ en $l_3$. Dan staan zowel $OM_1$ als $l_3$ loodrecht op $AB$, en zowel $OM_3$ als $l_1$ loodrecht op $CD$. Dus $SM_1OM_3$ vormt een parallellogram, en (met $\vec{O}$ als nulvector) $\vec{S} = \vec{M_1} + \vec{M_2} = \frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}+\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{2}$.

Op juist dezelfde manier kunnen we ook $l_2\cap l_4$ berekenen en komen we een identieke uitdrukking uit. $S$ is dus niet enkel het snijpunt van $l_1$ en $l_3$, maar ook van $l_2$ en $l_4$.