Stel dat je wilt bepalen welke van de twee regelmatige veelhoeken in figuur 1 de grootste oppervlakte heeft. Hoe zou je dat doen? Grote kans dat je de lengte van de zijden zou meten, wellicht de zeshoek in twee trapeziums zou verdelen, de lengte van hoogtelijnen zou meten om vervolgens de oppervlakte uit te rekenen. Maar als de oppervlaktes vrijwel gelijk zijn mis je hiermee misschien de nodige precisie. Je kunt ook goniometrie of een verdeling in rechthoekige driehoeken en de stelling van Pythagoras proberen te gebruiken, maar met beide zul je op het getal √3 stuiten. Een lastig getal voor de Grieken (zie bijvoorbeeld Wortel drie bij Archimedes van Paul Tempelaar). Wat je methode ook is, als je het goed gedaan hebt, vind je dat de zeshoek een iets 
grotere oppervlakte heeft dan de driehoek.

Ingewikkeldere figuren vergelijken

Probeer voordat je verder leest over de Griekse methode de veelhoeken in figuur 2 op basis van hun oppervlakte te rangschikken.

Omdat deze figuren niet allemaal regelmatig en niet allemaal convex zijn, wordt het ordenen op basis van oppervlakte lastiger. Zeker op het oog, zonder berekeningen, is het niet makkelijk om dit voor elkaar te krijgen. In stukken knippen, en de stukken aan elkaar passen om figuren te vormen die je wel makkelijk kunt vergelijken is een alternatief idee dat de Grieken hadden:

Als je een willekeurige veelhoek kunt ontbinden in stukken die daarna samen een vierkant vormen, kun je hun oppervlaktes vervolgens gemakkelijk vergelijken.

Dit verklaart de vijfde betekenis die Van Dale geeft aan het woord 'oppervlakte': in 't bijzonder de grootte, de afmeting van iets in het vierkant. Het heeft ook te maken met het streven van de Grieken om de kwadratuur van de cirkel te bepalen. Ze wilden de oppervlakte van een cirkel bepalen, met andere woorden, vinden welk vierkant dezelfde oppervlakte had als die cirkel, ofwel, welk getal in het kwadraat de oppervlakte zou geven.

Figuur 3 toont dezelfde figuren als figuur 2, maar nu zijn het allemaal afzonderlijke puzzels. Iedere veelhoek is verdeeld in stukken en de opdracht is om deze zodanig te schuiven of (al dan niet op de kop) te draaien dat ze samen een vierkant vormen. Hieronder bij [Documenten] vind je een versie die je kunt printen en uitknippen om dit te proberen. Rangschik vervolgens de figuren weer op grootte. Kom je op dezelfde volgorde uit als de eerste keer?

Tussen deze puzzels zitten een paar standaardvoorbeelden. Allereerst de methode om een rechthoek om te vormen tot een vierkant. Euclides toonde in zijn Propositie 14 in boek II van De Elementen al aan dat je voor iedere rechthoek een vierkant kunt construeren met exact dezelfde oppervlakte. Je kunt natuurlijk het bewijs van Euclides nalopen en zo een vierkant maken maar dat is niet altijd de snelste manier. Het kan vaak mooier en efficiënter. De opdeling van de rechthoek die je hier ziet is zo'n efficiënt voorbeeld: de rechthoek is verdeeld in een vijfhoek, een grote driehoek en een klein driehoekje, die vervolgens gedrieën een vierkant vormen. Deze opdeling werkt voor iedere rechthoek met hoogte $h$ en basis $b$ waarvoor $\frac{b}{4} \le h \le b$. De decompositie kun je vinden door op de langste zijde $b$ een lengte van $\sqrt{hb}$ aan te geven, vervolgens de diagonale lijn te trekken en tot slot het kleine driehoekje te tekenen m.b.v. een verticaal lijnstukje. Probeer dit bijvoorbeeld voor een rechthoek met basis $16\ cm$ en hoogte $9\ cm$.

Deze constructie lijkt voor de oude Grieken wellicht ook onoverkomelijk, omdat je bij minder goed gekozen hoogte en breedte weer een wortel nodig hebt. Maar je kunt $\sqrt{hb}$ als volgt met passer en liniaal bepalen. Verleng eerst $b$ met behulp van een passer met een afstand $h$. Bepaal dan het middelpunt $M$ van de nieuwe zijde met lengte $h + b$; dit kan met behulp van een middelloodlijnconstructie. Vanuit $M$ teken je een halve cirkel met straal $\tfrac{1}{2}(h + b)$. Verleng vervolgens de oorspronkelijke zijde van lengte $h$ tot aan deze halve cirkel. Dit levert een lengte $y$ waarvoor gebruikmakend van de stelling van Pythagoras geldt dat

$$y^2=\left(\tfrac{1}{2}(h-b)\right)^2=\left(\tfrac{1}{2}(h+b)\right)^2,$$

ofwel $y=\sqrt{hb}$. Zie figuur 4.

Optellen van vierkanten

Het laatste plaatje in figuur 3 is het tweede standaard voorbeeld: een 'som' van twee vierkanten met als resultaat een derde vierkant. Dit is eigenlijk een bewijs van de stelling van Pythagoras: leg twee vierkanten met zijden $a$ en $b$, waarbij $a > b$, tegen elkaar aan. Markeer een afstand b op de basis van het grootste vierkant en teken de diagonale lijnen door dit punt te verbinden met de hoeken zoals in figuur 5. Als je de puzzel oplost vind je een vierkant met zijden $c$ en oppervlakte gelijk aan de som van de oorspronkelijke twee oppervlaktes. Ofwel, $c^2 = a^2 + b^2$.

De lapjespuzzel van Dudeney

David Hilbert had al bewezen dat een willekeurige veelhoek kan worden getransformeerd tot een andere veelhoek van dezelfde oppervlakte door hem in een eindig aantal stukjes op te delen. Het bewijs is lang maar niet moeilijk. Het is gebaseerd op twee feiten: (1) ieder polygoon kan langs diagonalen worden opgedeeld in een eindig aantal driehoeken, (2) iedere driehoek kan worden opgedeeld in een eindig aantal stukken die herschikt kunnen worden tot een rechthoek. Dit is later veralgemeniseerd door Wallace, Bolyai en Gerwien. De versie van de stelling die we hier gebruiken is:

'Twee veelhoeken hebben dezelfde oppervlakte dan en slechts dan als ze ontbonden kunnen worden in dezelfde eindige verzameling van driehoeken. 'Ze heten dan 'equivalent door decompositie'.

Zoals we al zagen kun je rechthoeken omvormen tot een vierkant, zo nodig door er eerst een rechthoek van een geschikter formaat van te maken. Dus volgens de stelling van Hilbert kun je ieder polygoon opdelen in stukjes die je kunt herschikken tot een vierkant. Het vinden van een eenvoudige opdeling in stukken die samen ook een vierkant vormen is in het algemeen echter niet zo simpel. Iemand die hier heel goed in was, was Henry E. Dudeney. In 1907 publiceerde hij The Canterbury puzzles waarin onder andere allerlei opdelingspuzzels stonden. De bekendste hiervan is het haberdasher’s problem ofwel de lapjespuzzel. Dudeney vond een heel elegante verdeling van een gelijkzijdige driehoek in stukken die aan elkaar genaaid konden worden tot een vierkant. In 1905 had hij zijn vondst al gepresenteerd voor de Royal Society of London in de vorm van een mahoniehouten model met scharnieren. Dit is het meest rechtse plaatje in figuur 3. In figuur 6 zie je hoe je de vier stukken met scharnieren kunt verbinden zodat de driehoek gedraaid kan worden tot een vierkant: de punten $D$ en $E$ zijn de middens van de zijden $AB$ en $BC$, en $AJ+KC=JK$.

Terug naar de stelling

De voorbeelden hebben je waarschijnlijk overtuigd van het feit dat je iedere veelhoek door decompositie kunt omvormen tot een vierkant: iedere veelhoek kun je opdelen in een eindig aantal, zeg $n$ driehoeken. Iedere driehoek kun je daarna verdelen in twee rechthoekige driehoeken, die je weer gemakkelijk in tweeën kunt snijden om ze zo tot een rechthoek om te vormen. Op zijn slechtst heb je nu $2n$ rechthoeken die ieder uit twee stukjes bestaan. Van iedere rechthoek kun je zo nodig een rechthoek met de juiste verhouding $b : h$ maken om hem vervolgens in drie stukjes te verdelen die samen een vierkant vormen. En de vierkanten kun je met behulp van stelling van Pythagoras in figuur 5 allemaal bij elkaar optellen tot een groot vierkant. Het moge duidelijk zijn dat deze 'bewijsconstructie' leidt tot een opdeling in heel veel stukjes en dus vooral een gedachtenexperiment is dat aantoont dat er voor iedere veelhoek een vierkant bestaat zodanig dat de veelhoek en het vierkant equivalent zijn door decompositie. Net als Euclides' bewijs van zijn Propositie 14 levert deze constructie helaas niet echt een praktisch uitvoerbare methode op. Het vinden van mooie opdelingen in weinig stukjes is een lastige puzzel die door mensen als Dudeney tot een ware kunst was verheven.

 

Figuur 3 is ontleend aan Matscope, Université de Genève (2012) Figuur 6 is ontleend aan M. Gardner (1961), The second Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions, p.35