Pythagoras Olympiade 59-4, februari 2020
Inzenden kan alleen per e-mail. Stuur je oplossing (getypt of een scan of foto van een handgeschreven oplossing) naar pytholym@gmail.com. Je ontvangt een automatisch antwoord zodra we je bericht hebben ontvangen.
Voorzie het antwoord van een duidelijke toelichting (dat wil zeggen: een berekening of een bewijs). Vermeld je naam en adres; leerlingen moeten ook hun klas en de naam van hun school vermelden.
Je inzending moet bij ons binnen zijn vóór 16 april 2020.
Opgave 421 [oOO]
Laat ABCD een vierkant zijn met zijde 10 en laat PQRS het vierkant zijn dat wordt gevormd door de snijpunten van de diagonalen van het vierkant met zijn ingeschreven cirkel. Bepaal de oppervlakte van vierkant PQRS.
Opgave 422 [oOO]
Er bestaan rijtjes van vier positieve gehele getallen a\ge b\ge c\ge d met de eigenschap dat als je een of meer getallen van de vier uitkiest en optelt, je voor verschillende keuzes altijd een verschillend antwoord krijgt. Zulke rijtjes met de extra eigenschap dat de waarde van a-d zo klein mogelijk is, noemen we mooi. Vind het mooie rijtje waarvan de som van de getallen minimaal is.
Opgave 423 [ooO]
Een getal heet kwadraatvol als geldt dat voor elke priem die dit getal deelt, ook het kwadraat van de priem dit getal deelt. Zo zijn bijvoorbeeld 36, 72, 108 en 72000 kwadraatvol. Echter, 54 is niet kwadraatvol, want 2 deelt 54 maar 4 deelt 54 niet.
Is elk kwadraatvol getal te schrijven als m^an^b, met m, n, a, b positieve gehele getallen waar bovendien a en b groter zijn dan 1? Zo niet, bepaal het kleinste kwadraatvolle getal dat niet zo te schrijven is.
Opgave 424 [ooO]
Gegeven is de rechthoekige driehoek \Delta ABC en laat H op lijnstuk AB liggen zodat CH loodrecht staat op AB. Zij M het middelpunt van de ingeschreven cirkel van \Delta ACH en N dat van \Delta BCH. Laat E en F liggen op respectievelijk de lijnstukken AC en BC zodat EM en FN beide evenwijdig zijn aan CH. Toon aan dat de lijnstukken CE en CF even lang zijn.
