Pythagoras Olympiade 62-1, september 2022

Pythagoras Olympiade 62-1, september 2022

 

Inzenden

Je inzending moet bij ons binnen zijn vóór 1 november 2022

 

Opgave 481 [oOO]

Wat is het aantal getallen van precies vier cijfers (dus van $1000$ tot en met $9999$) die in decimale schrijfwijze bestaan uit precies twee verschillende cijfers?

Opgave 482 [oOO]

Beschouw het rijtje getallen $6n + 1$ voor $n \ge 1$. Expliciet bekijken we dus $7, 13, 19, 25, \dots$

Maximaal hoeveel opeenvolgende termen in de rij kunnen allemaal priemgetallen zijn?

Opgave 483 [ooO]

We kiezen volledig willekeurig drie verschillende getallen uit de verzameling ${1, 2, \dots , n}$ waar $n \ge 2$ een even getal is.

Wat is de kans dat een van de drie getallen het gemiddelde is van de andere twee?

Opgave 484 [ooO]

We proberen een vierkant te betegelen met $n \ge 1$ niet-overlappende rechthoeken wier zijden zich verhouden als $1 : 2$ (of $2 : 1$).  Hierbij hoeven de rechthoeken niet allemaal dezelfde grootte te hebben.

Bewijs dat dit mogelijk is voor alle $n \ge 8$.

Bonus: Voor welke waarden $n \le 7$ is het tevens nog mogelijk?