De stelling van Pythagoras gaat over rechthoekige driehoeken zoals het voorbeeld in figuur 1a. Met 4 kopieën van die driehoek kunnen we de rand van een vierkantraster vormen om een ingesloten vierkant. Dit kan op twee verschillende manieren (zie figuur 1b en figuur 1c) en beide manieren leiden tot een makkelijk (en bekend) bewijs van de stelling van Pythagoras. Als we de twee tekeningen nu in elkaar schuiven (zie figuur 1d) krijgen we een patroon dat het vlak vult en waar drie verschillende vierkanten in voorkomen.

 

Opgave 1 Ontdek de twee bewijzen en vind de sterke relatie tussen de oppervlaktes van de drie soorten vierkanten in figuur 1d.

Het volgende voorbeeld is te zien in figuur 2. Dit is een vlakvulling die iets te maken heeft met de stelling van Napoleon en ook met het punt van Torricelli. In Pythagoras 48-5 (april 2009) is een mooi artikel te vinden over het punt van Torricelli,
geschreven door Birgit van Dalen en Quintijn Puite. Ook op de achterkant van Pythagoras 58-5 (april 2019) staat het punt van Torricelli beschreven door Derk Pik. Het idee om deze vlakvulling te maken heb ik van Nick Edelen, een oud-leerling van mij die in 2007 hierover schreef voor zijn profielwerkstuk.

 

Opgave 2 Is er in figuur 2 een regelmatig zeshoekraster op de achtergrond?

In figuur 3 is een patroon te zien van de vloer van het Centraal Station in Amsterdam.

Opgave 3 Is er een regelmatig vierkantraster op de achtergrond in figuur 3?

In figuur 4 is een patroon te zien van het plein De Hof in Amersfoort. Het is een tegelpatroon opgebouwd uit grote en kleine vierkanten.

Opgave 4 Waar herken je in figuur 4 een vierkantraster op de achtergrond? Wat is het verband tussen de oppervlaktes van de twee tegelvierkanten en de oppervlakte van het rastervierkant?

Het laatste voorbeeld in figuur 5 is een tegelpatroon dat ik tegenkwam op een begraafplaats in Friesland. De tegel is symmetrisch, heeft hoeken van $90^{\rm o}$ en $120^{\rm o}$ en gebruikt twee lengtes voor zijn zijden.

Opgave 5 Zoek het regelmatige zeshoekraster op de achtergrond en stel dat de lengtes van de zijden gelijk zijn aan $1$. Gebruik dat raster om de twee lengtes van de zijden en de oppervlakte van de tegels te berekenen.