Toevallig was in 2020 de populaire Netflix- serie The Queen's Gambit bezig aan een opmars in Nederland. Daarin wordt, fictief en in de jaren '50 en '60 spelend, de Amerikaanse Beth Harmon wereldkampioen schaken door – hoe kan het ook anders – een Russische grootmeester te verslaan. Zij zou dan dus rangnummer 1 hebben gehad, berekend met de zogeheten Elo-rating van de schaakwereld, ontwikkeld door de Hongaars-Amerikaanse natuurkundige en schaker Árpád Élő.

Met behulp van een voorbeeld van de Nederlandse schaker en hoogleraar neurale wetenschap Wei Ji Ma − dat ik hier heb aangepast, met een iets beter model − laat Ionica zien dat er een andere reden kan zijn voor die lage klassering $86$ voor de beste vrouwelijke schaker. Het begint met de vaststelling dat er veel minder vrouwelijke dan mannelijke schakers zijn. Stel dat er twee vrouwelijke schakers in de top 100 staan. Aangenomen dat vrouwen en mannen even goed kunnen schaken, wat is dan het rangnummer van de beste van die twee vrouwen? Stel je vervolgens een tweede situatie voor: er zijn tien vrouwelijke schakers in de top 100. Waar staat dan (gemiddeld) de beste van hen? Merk op dat het gemiddelde rangnummer van deze beide groepen $50{,}5$ (niet $50$!) zal zijn. Maar gevoelsmatig moet de beste in de groep van tien een beter (lager) rangnummer hebben dan de beste in de groep van twee. Dat komt natuurlijk omdat er in de grotere groep meer mogelijkheden zijn voor een hogere klassering. Het leuke is: die gemiddelde beste klassering kun je uitrekenen!

Voor de groep van twee dames is de beste klassering $33\frac{2}{3}$, zoals we hierna zullen aantonen. (Uiteraard kan zo'n gemiddelde beste klassering een decimaal getal zijn, want het is, deftig statistisch gezegd, een verwachtingswaarde. Zo'n verwachtingswaarde hoeft geen geheel getal te zijn.) Maar hoe zit het dan in de groep van tien vrouwelijk top 100-schakers? Wat is daar de verwachte beste klassering?

We zullen eerst voorrekenen hoe je aan die beste gemiddelde klassering van $33\frac{2}{3}$ komt bij een tweetal vrouwelijke schakers in de top 100 van alle schakers. Wat is de kans dat het beste rangnummer van die twee bijvoorbeeld $40$ is? Die kans is $2$ maal de kans op precies rangnummer $40$ vermenigvuldigd met de kans op een rangnummer hoger dan $40$, ofwel $2 \cdot \tfrac{1}{100} \cdot \tfrac{60}{99} = 0{,}01212$ (afgerond op 5 decimalen). Die factor $2$ is nodig omdat beide genoemde gebeurtenissen ook in omgekeerde volgorde kunnen optreden. Noem $k$ de kansvariabele die de rang van de beste vrouwelijke schaker aangeeft. Wat is de kans op het minimum $k$ bij aselecte trekking van twee (ongelijke) getallen uit $1$ tot en met $100$. De kans is:

$$2\cdot P(\underline{k}=k)\cdot P(\underline{k} > k) = 2 \cdot \frac{1}{100} \cdot \frac{100-k}{99}=\frac{200 - 2k}{9900}.$$

Het berekenen van het gemiddeld beste rangnummer gaat via de verwachtingswaarde van de kansverdeling. De verwachtingswaarde is de som van alle mogelijke uitkomsten die eerst vermenigvuldigd zijn met hun bijbehorende kans. Een van die bijdragen in de verwachtingswaarde $\mathscr{E}$ (expected value) is $40 \cdot 0{,}01212 = 0{,}4848$ (afgerond op 4 decimalen) van het eerdere voorbeeld. Merk op dat de kans op een minimum van $100$ gelijk is aan $0$, want twee keer $100$ kiezen is onmogelijk. Alle waarden optellend volgt voor de verwachtingswaarde:

$$\mathscr{E}=\sum_{k=1}^{99}k\cdot\frac{200-2k}{9900}=\frac{2}{99}\sum_{k=1}^{99}k-\frac{2}{9900}\sum_{k=1}^{99}k^2.$$

De beide sommen $\sum_{k=1}^{99}k$ en $\sum_{k=1}^{99}k^2$ (ofwel $1 + 2 + 3 + \cdots + 99$ en $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 99^2$) zijn bekend en hebben als uitkomst ($n$ in plaats van $99$) respectievelijk $\tfrac{1}{2} \cdot n \cdot (n + 1)$ en $n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)/6$. Invullen van $n = 99$ geeft:

$$\frac{2}{99}\sum_{k=1}^{99}k=\frac{2}{99}\cdot\frac{1}{2}\cdot 99\cdot 100 = 100.$$

$$\frac{2}{9900}\sum_{k=1}^{99}k^2=\frac{2}{9900}\cdot 99\cdot 100\cdot \frac{199}{6}=66\tfrac{1}{3}.$$

Dus

$$\mathscr{E} = 100 - 66\tfrac{1}{3}=33\tfrac{2}{3}.$$

En nu dezelfde vraag bij een groep van $10$ vrouwen in de top 100. Dan zijn in ieder geval de kansen op een minimaal rangnummer van $91$ tot en met $100$ gelijk aan $0$. De andere kansen zijn nu aanzienlijk ingewikkelder. Die op bijvoorbeeld een minimum $40$ is $10 \cdot \frac{1}{100} \cdot \frac{60}{99} \cdot \frac{59}{98} \cdot \cdots \cdot \frac{52}{91}$. Al deze kansen in Excel zettend, vermenigvuldigend met die waarde zelf en optellend, volgt daarmee een verwachtingswaarde $9\frac{2}{11}$ , afgerond dus $9{,}2$. In het artikel van Ionica Smeets is die waarde (met een iets ander model en omgerekend, want zij berekent het maximum) $9{,}6$.

Dus kunnen we concluderen dat we de beste vrouw wiskundig gezien een stuk hoger zouden mogen verwachten dan plaats $86$?