Opgave C1 Tweede ronde 2026 We noemen een $n \times n$-vierkant van gehele getallen gebalanceerd als in elke rij en in elke kolom de getallen $1$ tot en met $n$ in één of andere volgorde staan, en bovendien in elk $2\times 2$-vierkantje geldt dat als je de vier getallen bij elkaar optelt, de uitkomst even is. Bestaat er een gebalanceerd vierkant voor $n = 6$? (Zo ja, geef een voorbeeld en laat zien dat dit voldoet; zo nee, geef een bewijs waarom niet.) Bestaat er een gebalanceerd vierkant voor $n = 7$? (Zo ja, geef een voorbeeld en laat zien dat dit voldoet; zo nee, geef een bewijs waarom niet.)

Hoe zouden we dit aan kunnen pakken? Er wordt ons gevraagd een $n \times n$-vierkant te vullen met getallen zodat er aan twee verschillende voorwaarden voldaan wordt: allereerst moet elke rij en elke kolom, net als bij een sudoku, precies de getallen $1$ t/m $n$ bevatten. Verder moet de som van de getallen in elk $2 \times 2$-vierkantje even zijn. Laten we dit respectievelijk de sudoku-eis en de lokale eis noemen. Om te beginnen aan de opgave helpt het om gewoon maar wat dingen uit te proberen. Wat is een makkelijke manier om een $n \times n$-vierkant te vullen zodat in elk geval aan de sudoku-eis voldaan wordt? Na wat puzzelen zou het moeten lukken om een oplossing te vinden voor $n = 6$. Ik heb zelf meegeholpen met het nakijken van deze opgave en ben vele creatieve oplossingen tegengekomen, maar met enige regelmaat stuitte ik op een ingewikkelde poging die toch net niet werkte. Het helpt om het zo simpel mogelijk te houden, zoals het voorbeeld in figuur 1. 

In dit voorbeeld is de eerste rij $1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6$ en is elke volgende rij te verkrijgen door de getallen steeds één hokje cyclisch door te schuiven. Het is hiermee duidelijk dat wordt voldaan aan de sudoku-eis voor de rijen, en ook voor de kolommen gaat dit nu vanzelf goed. En verder bevat elk $2 \times 2$-vierkantje precies twee even en twee oneven getallen, wat bijvoorbeeld direct volgt uit het feit dat de oneven en even getallen een schaakbordpatroon vormen. Dat maakt de som van elk $2 \times 2$-vierkantje inderdaad even, waardoor dit een werkend voorbeeld is voor $n = 6$ en we onderdeel (A) hebben opgelost.

Dan nu onderdeel (B): het geval $n = 7$. We zouden kunnen beginnen met kijken of hetzelfde voorbeeld nu weer werkt. Als we onze eerste rij beginnen met $1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7$ en die telkens eentje opschuiven, dan is in elk geval voldaan aan de sudoku-eis (zie figuur 2).

Heeft elk $2 \times 2$-vierkantje nu nog steeds een even som? Op het eerste gezicht lijkt het misschien van wel, maar omdat de $1$ en de $7$, twee oneven getallen, nu naast elkaar komen als we onze beginrij opschuiven, krijgen we $2 \times 2$-vierkantjes met drie oneven getallen en één even; met een oneven som dus. Zie bijvoorbeeld in de rechterbovenhoek het $2 \times 2$-vierkantje met som $6 + 7 + 7 + 1 = 21$. De aanpak bij $n = 6$ werkt dus niet voor $n = 7$. Maar dat sluit niet uit dat er mogelijk een andere constructie is die wel werkt… Dus we proberen nog wat andere constructies, maar telkens lopen we vast. Omdat het antwoord op onderdeel (A) "ja" was, ligt het ook wel voor de hand dat het antwoord nu "nee" zal zijn. Maar hoe zouden we nu echt kunnen bewijzen dat er geen gebalanceerd vierkant te construeren valt voor $n = 7$?

Een argument dat ik een paar keer voorbij heb zien komen, is het volgende:

Het aantal even getallen per $2 \times 2$-vierkant moet even zijn (anders is de totale som oneven), dus zal het aantal even getallen in het hele vierkant ook even zijn. Maar voor $n = 7$ zijn er in totaal 21 even getallen (drie per rij), dus het is onmogelijk.

Dit is helaas geen sluitend bewijs; er kan namelijk prima voldaan worden aan de lokale eis terwijl het totaal aantal even getallen oneven is: plaats bijvoorbeeld in elk vakje een even getal, dan zijn er in totaal $49$ even getallen. We zullen dus een andere aanpak moeten gebruiken.

De reden dat deze redenering mis gaat, is dat het $7 \times 7$-vierkant nou eenmaal niet op te splitsen is in $2 \times 2$-vierkantjes (die elkaar niet overlappen en samen het hele bord opvullen.) Wat wel klopt aan deze redenering, is dat het aantal oneven getallen per $2 \times 2$-vierkant even moet zijn. Het maakt dus voor de lokale eis niet uit wat de getallen precies zijn, maar enkel of ze even danwel oneven zijn. Door alle oneven getallen te vervangen door een $\color{red}{O}$ en alle even getallen door een $\color{red}{E}$ ziet het bord er al een stuk simpeler uit. Laten we eens beginnen met kijken naar de eerste rij, die ziet er misschien wel zo uit: $\color{red}{OOEOEEO}$. Wat betekent dit voor de volgende rij? Het eerste vakje kan een $\color{red}{O}$ of een $\color{red}{E}$ zijn. Stel eerst eens dat de volgende rij begint met $\color{red}{O}$. Door het $2 \times 2$-vierkantje te bekijken zoals in figuur 3 zien we dat we al drie oneven getallen hebben, het laatste getal moet dus ook oneven zijn.

Kijken we één vierkantje verder (figuur 4), dan vinden we al twee oneven en een enkel even getal, dus zal het vierde getal ook even zijn.

Door dit te herhalen zien we dat de volgende rij in dit geval gelijk moet zijn aan $\color{red}{OOEOEEO}$, precies de rij waar we mee begonnen.

Stel nu juist dat deze rij met een $\color{red}{E}$ begint. Als we dan op vergelijkbare wijze de rij afmaken, zien we dat deze gelijk aan $\color{red}{EEOEOOE}$ moet zijn; dat is juist het tegenovergestelde van de rij waar we mee begonnen (in de zin dat alle $\color{red}{O}$’s en $\color{red}{E}$’s zijn omgewisseld).

We gingen in dit voorbeeld nu uit van de beginrij $\color{red}{OOEOEEO}$; wat gebeurt er als we een andere beginrij hebben? Ook dan kunnen we zeggen dat de volgende rij begint met een $\color{red}{E}$ of met een $\color{red}{O}$ en in beide gevallen kunnen we de lokale eis gebruiken om de rij af te maken. Er zijn dus altijd maar precies twee rijen die we onder de eerste kunnen plaatsen zodat er overal aan de lokale eis wordt voldaan. Omdat een kopie van de rij zelf en ook zijn tegenovergestelde voldoen aan deze eigenschap, moeten dit wel precies die twee opties zijn.

Gegeven de eerste rij weten we dus precies welke mogelijkheden er voor de tweede rij zijn qua even of oneven. Maar wat hebben we hier eigenlijk aan? We wilden laten zien dat het onmogelijk is om een gebalanceerd vierkant voor $n = 7$ te maken, dus op de een of andere manier zullen we op een tegenspraak uit moeten komen. Zoals we net zagen moet de tweede rij altijd gelijk of juist tegenovergesteld zijn aan de eerste rij. Maar de sudoku-eis zorgt ervoor dat er per rij precies drie even getallen en vier oneven getallen staan. Dus tegenovergesteld is niet mogelijk; dan zouden er juist drie oneven getallen en vier even getallen in die rij voorkomen. De tweede rij moet dus precies hetzelfde zijn als de eerste rij (qua even en oneven). Maar dan kunnen we kijken naar de tweede en derde rij; exact dezelfde redenering laat dan zien dat die twee ook gelijk zullen zijn. Hetzelfde geldt voor de derde en vierde rij, et cetera. We concluderen dat alle rijen gelijk zijn wat betreft even en oneven. Dus alle kolommen bevatten uitsluitend even getallen of uitsluitend oneven getallen. Maar elke kolom moet juist ook de getallen $1$ t/m $7$ bevatten; dat is natuurlijk onmogelijk. We zien dat er geen gebalanceerd vierkant bestaat voor $n = 7$.

Terugblik

Dit was een interessante opgave waar we een vierkant moesten vullen onder een aantal bijzondere voorwaarden. Het eerste onderdeel was op te lossen door gewoon maar wat uit te proberen. Voor de tweede deelvraag bleek het nuttig om het te reduceren tot enkel de echt relevante informatie: of de getallen even of oneven waren. Daarna gebruikten we de eerste rij om de mogelijke vervolgrijen in kaart te brengen; dat leverde uiteindelijk een tegenspraak op. Er zijn zeker ook nog andere oplossingen mogelijk; zie bijvoorbeeld de oplossing in de officiële uitwerkingen, te vinden in het wedstrijdarchief op de website www.wiskundeolympiade.nl. Daar valt ook te vinden hoe de deelnemers gescoord hebben op deze opgave: van de 10 punten die er voor deze opgave te halen vielen, hebben de leerlingen er gemiddeld ongeveer 2,6 behaald. Best een pittige opgave dus.

Hopelijk weet jij na dit artikel hoe je de volgende keer aan zo’n lastige C-opgave kan beginnen, en weet je hem misschien zelfs wel helemaal op te lossen, als het even kan!