Volledigheid en onvolledigheid
Wat de Elementen van Euclides bijzonder maakt is dat voor het eerst een wiskundige discipline axiomatisch werd ontwikkeld. De idee van een axiomatische aanpak is dat je stellingen over een bepaald onderwerp afleidt door er een aantal zonder bewijs aan te nemen (de axioma's) en een beperkt aantal (de afleidingsregels) gebruikt om uit bewezen stellingen nieuwe te verkrijgen. Een dergelijk formalisme noemen we een axiomatisch systeem.
Een voorbeeld van een axioma uit de Elementen is dat gegeven twee punten $A$ en $B$ er een lijnstuk $AB$ bestaat dat $A$ en $B$ als eindpunten heeft. Een voorbeeld van een afleidingsregel is modus ponens: uit de zinnen ‘als p, dan q’ en ‘p’ mag je concluderen dat ‘q’.
Een natuurlijke vraag die je bij deze aanpak kunt stellen is of je op deze manier alle ware stellingen van de theorie met behulp van afleidingsregels kunt afleiden? In de context van de Elementen zou je de vraag als volgt kunnen formuleren: als een uitspraak over de Euclidische meetkunde waar is, kan ik deze stelling dan ook bewijzen uit de axioma's? Nota bene: dit is niet langer een vraag over de meetkunde die je binnen het systeem kunt oplossen, maar een vraag over het systeem zelf.
In de wiskundige logica noemen we een systeem volledig met betrekking tot een bepaald onderwerp als je inderdaad alle ware stellingen over dat onderwerp af kunt leiden in het systeem. Stel nu dat een systeem onvolledig is, dan kun je het misschien volledig maken door meer of andere axioma's toe te voegen. Maar er zijn ook systemen die principieel onvolledig zijn: in dat geval bestaat er geen nette axiomatische uitbreiding waaruit je alle ware stellingen kunt bewijzen.
Een bekende axiomatisering voor de rekenkunde is de zogeheten Peano-rekenkunde. Kurt Gödel liet in de vorige eeuw met zijn beroemde onvolledigheidsstelling zien dat dit een voorbeeld is van zo'n principieel onvolledig systeem. Welke axioma's je ook toe zou voegen, je kunt nog 
steeds ware stellingen vinden die je niet af kunt leiden!
Meer interesse in logica? Op donderdag 28 maart 2019 organiseert het Institute for Logic, Language and Computation (ILLC) van de Universiteit van Amsterdam een MasterClass Logica voor docenten in het middelbaar onderwijs.
