De vraag of de natuurlijke getallen bij $0$ of $1$ beginnen is wiskundig niet echt belangrijk maar kan toch tot discussie aanleiding geven. Veel mensen vinden $0$ niet echt een getal (en heel lang geleden vond eigenlijk iedereen dat) omdat het bijvoorbeeld niets telt, en natuurlijke getallen zijn er om mee te tellen, toch? In veel programmeertalen begint men arrays bij $0$ te nummeren omdat het soms handig is dat er $n$ cellen vóór $a[n]$ in de rij staan. In de verzamelingenleer gebruikt men de lege verzameling $\varnothing$ als definitie van $0$ omdat die verzameling perfect doet wat een nul zou moeten doen.

Een beetje gesChiedenis

Voor we het huidige antwoord op onze vraag geven, bekijken we eerst wat er vroeger gebeurde. En dan kunnen we niet om De Elementen van Euclides heen, want dat werk heeft heel lang het denken van wiskundigen bepaald. 

In boeken $VII$, $VIII$, en $IX$ ontwikkelde Euclides een groot stuk getaltheorie en definieerde hij ook wat getallen waren. De eerste twee definities van boek $VII$ vertellen ons wat getallen zijn (de vertaling is van E. J. Dijksterhuis en uit 1930):

Definitie 1. Eenheid is, op grond waarvan elk bestaand ding één genoemd wordt.

Definitie 2. Een getal is een hoeveelheid, samengesteld uit eenheden. 

De eerste definitie is een poging om het idee van "één ding" af te spreken en het is aan de lezer om te beoordelen hoe goed dat gelukt is. Wat de definitie laat zien is dat het lastig is een definitie van een basisbegrip te geven zonder synoniemen te gebruiken.

De tweede definitie zegt dus dat een getal is opgebouwd uit eenheden, en dat meervoud zegt ons dat de eenheid zelf geen getal is. Als we dit naar onze natuurlijke getallen vertalen dan komt het erop neer dat voor Euclides deze pas bij $2$ beginnen, en dat $1$ niet eens meedoet! Af en toe moet Euclides een bewering daarom twee keer bewijzen: voor getallen en voor de eenheid. 

Ik vermoed overigens dat in de praktijk $1$ een volwaardig getal was; in alle getalsystemen die in de geschiedenisboeken te zien zijn is er een symbool voor 'één' en bij het dagelijkse rekenwerk deed dat symbool gewoon mee.

En nu?

Het heeft een tijd geduurd voordat $0$ als getal geaccepteerd werd en niet alleen als nuttig symbool in het decimale stelsel. Aan het begin is al genoemd dat in de verzamelingenleer is afgesproken dat $0 = \varnothing$. Daar is men verder mee gegaan: $1 = \{0\}$, want $\{\varnothing\}$ is zo ongeveer de eenvoudigste verzameling met één element; dan $2 = \{0,1\}$, weer lekker eenvoudig; en als je zo doorgaat krijg je natuurlijke getallen met de eigenschap dat elke $n$ de verzameling van zijn voorgangers is: $n = \{0,1,\dots, n - 1\}$. Het is even wennen, maar het werkt heel mooi. 

Dit en andere verschijnselen maakten dat veel wiskundigen $0$ bij de natuurlijke getallen wilden hebben, en in 1978 is de knoop doorgehakt. De ISO (Internationale Organisatie voor Standaardisatie) heeft besloten dat $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\}$. Je kunt dat terugvinden in de standaard "ISO-80000-2" (pagina 4): $\mathbb{N}$ staat voor "de verzameling van natuurlijke getallen" en "de verzameling van gehele positieve getallen en nul" (die twee zijn woordelijk equivalent). Nederland is lid van deze organisatie, dus bij ons is $0$ het eerste natuurlijke getal.

 

$\color{white}{Item\ No.}$	$\color{white}{Symbol,\ expression}$	$\color{white}{Meaning,\ verbal\ equivalent}$	$\color{white}{Remarks\ and\ examples}$
2-7.1	$\textbf{N}$	the set of natural numbers, the set of positive integers and zero	$\textbf{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ $\textbf{N}^* = \{1,2,3,\dots\}$ Other restrictions can be indicated in an obvious way, as shown below. $\textbf{N}_{>5} = \{n \in \textbf{N} | n>5\}$ The symbols $I\!N$ and $\mathbb{N}$ are also used.