Op de achterkant van dit nummer staat:

Wat betekent dit, en hoe komt je eraan?

Benaderingen van $\sqrt{17}$

In 1572 beschreef Raphael Bombelli in zijn boek L’algebra een manier om benaderingen van vierkantswortels te maken; daarbij werkte hij het benaderen van $\sqrt{13}$ uitgebreid uit. Later, in 1613 schreef Pietro Antonio Cataldi een boek met de mooie titel Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri (Verhandeling over een zeer snelle manier om vierkantswortels van getallen te vinden). Daarin werkte hij Bombelli’s methode uit en introduceerde hij een notatie om de structuur van de benaderingen beter te laten zien. We illustreren de methode en de notatie aan de hand van $\sqrt{17}$.

We merken op dat $\sqrt{17}$ vlak boven $16$ ligt, en ver onder $25$, dus $4 < \sqrt{17} < 5$. We schrijven voor het gemak even $\alpha = \sqrt{17} - 4$, dus $\alpha + 4 = \sqrt{17}$. Links en rechts kwadrateren geeft ons $\alpha^2 + 8\alpha + 16 = 17$, ofwel

$8\alpha + \alpha^2 = 1$

$(*)$

Bombelli gebruikte dit om benaderingen van $\alpha$ telkens te verbeteren. Net zoals $4$ een onderschatting van $\sqrt{17}$ is, is $0$ een onderschatting van $\alpha$. Vervang in $(*)$ één van de $\alpha$'s in $\alpha^2$ door $0$ en los de vergelijking $(8+0)\alpha=1$ op: je krijgt $\tfrac{1}{8}$ als nieuwe benadering van $\alpha$. Dat is een overschatting: reken $\left(4+\tfrac{1}{8}\right)^2$ maar uit. Herhaal wat we net deden: vervang in $(*)$ één van de $\alpha$'s in $\alpha^2$ door $\tfrac{1}{8}$ en los de vergelijking $\left(8+\tfrac{1}{8}\right)\alpha = 1$ op: je krijgt $1/\left(8+\tfrac{1}{8}\right)=\frac{8}{65}$ als nieuwe benadering van $\alpha$.

Wat Cataldi deed was, in moderne termen: de vergelijking $8\alpha + \alpha^2 = 1$ omschrijven als

$$\alpha=\frac{1}{8+\alpha}$$

en opmerken dat je elke nieuwe benadering van $\alpha$ krijgt door de vorige in het rechterlid in te vullen. In plaats van het telkens uitwerken van de breuken vulde hij de nieuwe resultaten meteen in, beginnend met $\alpha = 0$:

$$\frac{1}{8}, \ \cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8}}, \ \cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8}}}, \ \cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8}}}}, \ \ldots$$

Hier en daar kun je dit soort breuken in het boek zien, maar Cataldi schreef de vierde breuk als

$$\frac{1}{8\cdot{}}\mathbin\&\frac{1}{8\cdot{}}\mathbin\&\frac{1}{8\cdot{}}\mathbin\&\frac{1}{8}$$

Hierin staat de $\&$ voor onze $+$ en de puntjes naast de $8$-en geven aan dat de rest in de noemer bij de $8$ opgeteld moet worden.

Groter en kleiner

We hebben gezien dat $\frac{1}{8}$ groter is dan $\alpha$; dat hadden we ook kunnen voorspellen door naar de vergelijking te kijken: uit $\alpha > 0$ volgt meteen dat

$$\alpha=\frac{1}{8+\alpha}<\frac{1}{8+0}.$$

In onze tweede stap hebben we $\alpha < \frac{1}{8}$ en dus

$$\alpha = \cfrac{1}{8+\alpha}>\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8}}.$$

Maar als we zo doorgaan vinden we hiermee

$$\alpha = \cfrac{1}{8+\alpha}<\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8}}}.$$

De volgende stap levert dan, in de notatie van Cataldi, de ongelijkheid

$$\alpha>\frac{1}{8\cdot{}}\mathbin\&\frac{1}{8\cdot{}}\mathbin\&\frac{1}{8\cdot{}}\mathbin\&\frac{1}{8}$$

en dus

$$\sqrt{17}> 4\cdot{}\mathbin\&\frac{1}{8\cdot{}} \mathbin\&\frac{1}{8\cdot{}} \mathbin\&\frac{1}{8\cdot{}} \mathbin\&\frac{1}{8}.$$

Het puntje naast de $4$ geeft aan dat de breuk bij $4$ opgeteld moet worden. De notatie van Cataldi is misschien wat lastiger te lezen, maar is wel zuiniger met papier.

 

Opgave 1 Beredeneer dat de breuken die je zo maakt inderdaad om en om groter en kleiner zijn dan $\alpha = $\sqrt{17} - 4$: groter bij een oneven aantal $8$-en en kleiner bij een even aantal.

Opgave 2 dGebruik de vorige opgave om de verschillen tussen $\alpha$ en de breuken af te schatten. Hoe goed zijn de benaderingen van $\sqrt{17}$ die je op deze manier krijgt?

Kettingbreuken

Breuken als die van Cataldi noemen we kettingbreuken (Engels: continued fractions).

We zouden het bovenstaande idee van elke breuk opnieuw in het rechterlid invullen oneindig vaak uit kunnen voeren, met als resultaat de gelijkheid op de achterkant van dit nummer. Wat die gelijkheid uitdrukt is wiskundig precies afgesproken: met behulp van de oneindige rij achten bouw je een rij (ketting)breuken:

$$\frac{1}{8}, \cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8}}, \cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8}}}, \cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{8}}}}, \ldots$$

De rij getallen die je zo krijgt, noem ze even $b_n$, nadert bij toenemende $n$ tot een grenswaarde of limiet, en die limiet is gelijk aan $\sqrt{17} - 4$. Op de achterkant is de $4$ aan de andere kant van het $=$-teken gezet om die limiet gelijk aan $\sqrt{17}$ te krijgen.

Opgave 3 Probeer op de bovenstaande manier een kettingbreuk voor $\sqrt{2} te maken.

Opgave 4 Stel een kettingbreuk op voor $\phi=\frac{\sqrt5}{2}+\frac{1}{2}$. Hint: $\phi^2=1+\phi$.

Opgave 5 Ga op onderzoek uit en probeer kettingbreuken te maken voor $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11}, \sqrt{13}, \dots$.

Verdere ontwikkelingen

Bij het maken van de kettingbreuk van $\sqrt{17}$ en in de opgaven kun je goed gebruik maken van het feit dat je een kwadratische vergelijking kunt ombouwen tot een vergelijking die het gezochte getal uitdrukt in een breuk waar het getal zelf een rol speelt.

In latere nummers zullen we zien hoe je voor elk irrationaal getal in $(0, 1)$ een kettingbreuk kunt maken en ook hoe je op een snellere manier de tellers en noemers van de vereenvoudigde afgebroken kettingbreuken kunt vinden.

Verder zullen we zien dat kettingbreuken vaak de beste breuken zijn om het getal waar het om gaat mee te benaderen. 

Verder lezen Martin Kindt en Piet Lemmens, Ontwikkeling met Kettingbreuken: www.epsilon-uitgaven.nl/zebra-reeks/ontwikkelen-met-kettingbreuken/11109, Zebra-reeks 33, Epsilon Uitgaven (2011).