Ik las ooit in een boek de volgende opdracht:

Zet de cijfers 1 t/m 9 in zodanige volgorde dat: het getal gevormd door het eerste cijfer deelbaar is door 1, het getal gevormd door de eerste 2 cijfers deelbaar is door 2, het getal gevormd door de eerste 3 cijfers deelbaar is door 3, het getal gevormd door de eerste 4 cijfers deelbaar is door 4, het getal gevormd door de eerste 5 cijfers deelbaar is door 5, het getal gevormd door de eerste 6 cijfers deelbaar is door 6, het getal gevormd door de eerste 7 cijfers deelbaar is door 7, het getal gevormd door de eerste 8 cijfers deelbaar is door 8, het getal gevormd door de eerste 9 cijfers deelbaar is door 9.

 Aan de eerste voorwaarde is uiteraard altijd voldaan, maar ook aan de laatste voorwaarde, immers de som der cijfers is 45 (9-voud).

Puzzel eerst even zelf voordat je verder leest!

Oplossing

Het kan handig zijn om het artikel Deelbaarheid in Pythagoras 60-2 er nog eens op na te lezen. Noem het totale getal $abcdefghi$ (schrijfwijze). Het getal $abcde$ moet deelbaar zijn door $5$, dus is $e=0$ of $5$, maar $0$ komt niet voor dus: $e = 5$. De getallen $ab$, $abcd$, $abcdef$ en $abcdefgh$ zijn deelbaar door respectievelijk $2$, $4$, $6$ en $8$, zij zijn dus even. Dus de cijfers $b$, $d$, $f$ en $h$ zijn allen even en ongelijk, zij zijn samen de cijfers $2$, $4$, $6$ en $8$.

Dientengevolge zijn de cijfers $a$, $c$, $g$ en $i$ de overgebleven oneven cijfers $1$, $3$, $7$ en $9$. Het getal $abc$ is deelbaar door $3$, dus is de som van de cijfers $a$, $b$ en $c$ een drievoud. Het getal $abcdef$ is deelbaar door $6$, dus ook door $3$, dus moet ook de som van de cijfers $d$, $e$ en $f$ een drievoud zijn.

Het getal $abcd$ is deelbaar door $4$, dan moet ook $cd$ een $4$-voud zijn. Aangezien $c$ oneven is, kan $d$ alleen maar $2$ of $6$ zijn: $cd = 12$, $16$, $32$, $36$, $72$, $76$, $92$, $96$ ($52$ en $56$ kunnen niet).

Het getal $abcdefgh$ is deelbaar door $8$, dan moet ook $fgh$ deelbaar zijn door $8$. Aangezien $f$ even is, is $f00$ een $8$-voud, dus moet ook $gh$ een $8$-voud zijn. Aangezien $g$ oneven is, kan $h$ alleen maar $2$ of $6$ zijn: $gh = 16$, $32$, $72$ of $96$ ($56$ kan niet).

Zowel $d$ en $h$ kunnen dus alleen maar $2$ of $6$ zijn, dus zijn $b$ en $f$ de getallen $4$ en $8$. Het getal $def = d5f$ is een $3$-voud, dus is de som van de cijfers ($d + f + 5$) een $3$-voud. Met de gevonden beperkingen voor de waardes van $d$ en $f$ zijn er maar twee mogelijkheden: $258$ en $654$.

De moeilijkste eis is dat $abcdefg$ een $7$-voud is, hiervoor bestaan geen simpele check methoden.

GEVAL A. Ga uit van $def = 258$, dan is $b = 4$ en $h = 6$; dan kan $g$ alleen maar $1$ of $9$ zijn. ($gh = 16$ of $96$).

Het getal $abc = a4c$ is deelbaar door $3$, waarbij $a$ en $c$ allebei oneven en ongelijk aan $5$, dus $a + c + 4$ is een $3$-voud. Als $g = 1$ zijn $a$ en $c$ twee getallen uit de combinatie $3$, $7$ en $9$. Dit levert geen bruikbare waarde voor $abc$ op.

Als $g = 9$ zijn $a$ en $c$ twee getallen uit de combinatie $1$, $3$ en $7$. Dit levert alleen een bruikbare combinatie op met $1$ en $7$. Dus $abc = 147$ of $abc = 741$.

Dus zijn er twee mogelijkheden voor $abcdefg$, namelijk $1472589$ en $7412589$. Controle met een rekenmachine levert dat geen van beide een $7$-voud is.

GEVAL B. Ga uit van $def = 654$, dan is $b = 8$ en $h = 2$, dan kan $g$ alleen maar $3$ of $7$ zijn. ($gh = 32$ of $72$).

Het getal $abc = a8c$ is deelbaar door $3$, waarbij $a$ en $c$ allebei oneven en ongelijk aan $5$ zijn. Nu zijn er meer mogelijkheden. Enig speurwerk op dezelfde manier als in geval A levert de volgende combinaties:

• $abc = 189$, $981$, $g = 3$;
• $abc = 789$, $987$, $g = 3$;
• $abc = 189$, $981$, $g = 7$;
• $abc = 183$, $381$, $g = 7$.

Voor $abcdefg$ krijgen we nu $8$ mogelijkheden:

• $1896543$ en $9816543$
• $7896543$ en $9876543$
• $1896547$ en $9816547$
• $1836547$ en $3816547$.

Controle met een rekenmachine levert dat alleen $3816547$ een $7$-voud is ($7 \times 545221$), dus moet het gevraagde totale getal zijn:

$$381\,654\,729$$

Nadere controle geeft aan dat dit inderdaad aan alle gestelde voorwaarden voldoet. Zou de truc ook werken met minder cijfers? Dat valt tegen, zie de tabel, die geeft de combinaties aan van $1$ t/m $8$ cijfers die aan de voorwaarden voldoen. De laatste is makkelijk: omdat bij de combinatie met $9$ cijfers de $9$ achteraan staat kunnen we die gewoon weghalen. Voor de rest van onderstaande tabel heeft een computer alle mogelijke combinaties rigoureus moeten doorrekenen.

Cijfers	Oplossing(en)
$1$	$1$
$2$	$12$
$3$	$123$, $321$
$4$	-
$5$	-
$6$	$123\,654$, $321\,654$
$7$	-
$8$	$38\,165\,472$