Opgave 1 

De afstanden vormen een rekenkundige rij met een verschil van $8$. Denk aan figuur 1. In de rij $1, 9, 25, \dots$ is het eerste verschil de som van $3$ en $5$. Het tweede verschil is de som van $7$ en $9$. $7$ is $4$ meer dan $3$ en $9$ is $4$ meer dan $5$ dus $9+7$ is $8$ meer dan $3 + 5$ en dit geldt voor alle afstanden in beide rijen.

Opgave 2

De som van de eerste $n$ even kwadraten is $4$ keer de som van de eerste $n$ kwadraten. Dit is makkelijk in te zien want $2^2=(2\times1)^2=2^2\times1^2=4\times1^2$, $4^2=(2\times2)^2=2^2\times 2^2=4\times2^2$ etc.

Opgave 3

$f(n-1)+n^3=\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^2+n^3=\frac{n^2}{4}\cdot\left((n-1)^2+4n\right)=\left(\frac{n(n+1}{2}\right)^2=f(n)$.

Opgave 4

$g(1)=1$, $g(2)=5$, $g(3)=14$ en $g(4)=30$. Als $g(n)=a\cdot n^3 + b\cdot n^2+c\cdot n+d$ dan $a=\tfrac{1}{3}$, $b=\tfrac{1}{2}$, $c=\tfrac{1}{6}$ en $d=0$.

Opgave 5

Dan is $g(n)=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}-\frac{(n-1)(2(n-1)+1)(n-1+1)}{6}=\frac{n}{6}\cdot\frac{2n^2+3n+1-2n^2+3n-1}{1}=\frac{6n^2}{6}=n^2$.

Opgave 6

$g(n)$	$=$	$n\cdot1+(n-1)\cdot 3+(n-2)\cdot 5 + \cdots+(n-(n-1))\cdot(2n-1)$
	$=$	$n+3n+5n+\cdots+(2n-1)n+(3\times1+5\times2+7\times3+\cdots+(2n-1)\times n)$
	$=$	$\frac{n\cdot2n\cdot n}{2}-((2\cdot1+1)\times1)+(2\cdot2+1)\times 2+(2\cdot3+1)\times3+\cdots+(2\cdot(n-1)+1)\times(n-1))$
	$=$	$\frac{n\cdot2n\cdot n}{2}-((2\times1^2+1)+(2\times2^2+2)+(2\times3^+1)+\cdots+(2\times(n-1)^2+(n-1))$
	$=$	$n^3-2(1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2)-(1+2+3+\cdots+(n-1))$
	$=$	$n^3-2(g(n)-n^2)-(1+2+3+\cdots+(n-1))$

$\rightarrow 3g(n)=n^3+2n^2-\frac{n(n-1)}{2}\rightarrow g(n)=\frac{2n^3+4n^2-n^2+n}{6}=\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$.

Opgave 7

De som van de eerste $n$ even kwadraten is gelijk aan vier keer de som van de eerste $n$ kwadraten en dus gelijk aan $\frac{2n(2n+1)(n+1)}{3}$. 
De som van de eerste $n$ oneven kwadraten is gelijk aan de som van de eerste $2n$ kwadraten min de eerste $n$ even kwadraten en dus gelijk aan $\frac{n(2n+1)(2n+2)}{3}$.

Opgave 8

Het snelste antwoord komt door in te zien dat als de piramide niet hol was, het gat hetzelfde was als de bovenste $n-2$. Dus het antwoord is $n^2+(n-1)^2$.

Het antwoord is ook te krijgen met $g(n)=g(n-2)$.

Een derde methode is om de lagen van de uitgeholde piramide op te tellen. Dit geeft een rekenkundige reeks: $1+(4\times2-4)+(4\times3-4)+\cdots+(4\times n-4)$.

En met magisch denken kun je de rode lagen ongehinderd laten vallen om de onderste laag op te vullen en dan de zwarte lagen laten vallen om de laag daarboven op te vullen zoals in figuur 2 en figuur 3.