Kwadraten ontstaan dus door een vermenigvuldiging, maar kunnen ook opgebouwd worden door een optelling van oneven getallen. Dit is visueel onmiddellijk duidelijk. Zie figuur 1. Hier geeft de zwarte steen met vier noppen de eenheidsmaat aan.

Denk nu aan de rij van oneven kwadraten $(1, 9, 25, \dots)$ en aan de rij even kwadraten $(4, 16, 36, \dots)$.

 

Opgave 1 Wat is de regelmaat in de afstand tussen de getallen in deze rijen? Opgave 2 Hoe kun je je vermoeden bewijzen?

In het tegelpatronen van figuur 2 is te zien hoe je oneven kwadraten kunt opbouwen en in figuur 3 is te zien hoe je even kwadraten kunt opbouwen.

Wat zouden de formules voor de som van de eerste $n$ kwadraten, de som van de eerste $n$ oneven kwadraten en de som van de eerste $n$ even kwadraten zijn? Er is een clou te vinden in de formule voor de som van de eerste $n$ positieve gehele getallen. Deze bekende formule is simpel te verklaren. Maak een tweede reeks door de reeks $1 + 2 + 3 +\dots+ n$ om te draaien en plaats de twee reeksen onder elkaar. Dan steeds naar beneden optellen en alles bij elkaar heb je $n \cdot (n + 1)$ als som. Maar dit is het dubbele. Dus het antwoord is $1 + 2 + 3 +\dots+ n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$. Deze methode is ook aan te passen voor elke rekenkundige reeks.

Kijk nu naar deze som in het kwadraat. 

$\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2=1^3$,
$\left(\frac{2(2+1)}{2}\right)^2=1^3+2^3$ en
$\left(\frac{3(3+1)}{2}\right)^2=1^3+2^3+3^3$.

Het vermoeden is dat

$\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=1^3+2^3+\dots+n^3$.

Opgave 3 Definieer een functie $f(n) =\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ en laat zien dat $f(1) = 1^3$ en voor $n > 1$, $f(n) = f(n - 1) + n^3$. Daarmee bewijs je als $f(n - 1)$ de juiste formule is voor de $n - 1$ derdemachten, dan is $f(n)$ dat voor de $n$ derdemachten. Opgave 4 De somformule voor gehele getallen is tweedegraads. In opgave 3 heb je gezien dat de somformule voor derdemachten vierdegraads is. Je zou kunnen denken dat de som van tweede machten (kwadraten) derdegraads is. Dit is maar een vermoeden maar als het waar is dan zijn de vier coëfficiënten van de formule bepaald door de eerste vier sommen. Bepaal deze vier coëfficiënten. Noem je formule $g(n)$.  Opgave 5 Laat zien dat $g(1) = 1^2$ en dat $g(n) - g(n-1) = n^2$.

Dit voelt een beetje als valsspelen en toch geluk hebben. Hetzelfde gevoel als wanneer je een aanname doet bij het oplossen van een Sudoku. Het zou veel bevredigender zijn om de formule gewoon af te leiden. Daar heb ik iets voor.

Kijk om te beginnen naar figuur 4. Hier is de som van de eerste vijf kwadraten in stapels van oneven getallen.

Opgave 6 Kan je met behulp van figuur 4 de formule voor de som van de eerste $n$ kwadraten direct afleiden?

Nu hebben we genoeg om de somformule voor de eerste $n$ even kwadraten en de somformule voor de eerste n oneven kwadraten te bepalen.

Opgave 7 Wat zijn deze formules?

In figuur 5 is een piramide te zien, opgebouwd uit de eerste zeven kwadraten. Figuur 6 laat deze piramide van de onderkant zien. Hij is helemaal hol. Ik beschouw weer de bovenste steen met vier noppen als de eenheidsmaat.

Opgave 8 Hoeveel stenen van eenheidsmaat zijn er nodig om dit soort piramides te bouwen met n lagen? Er zijn tenminste vier manieren om dit antwoord te berekenen. Geef je antwoord op in kwadraten en in termen van $n$.

 

Bekijk oplossing