De standaard regel voor deelbaarheid door 7  Voor $7$ geldt het volgende: Neem het getal $abcd$, bestaande uit de cijfers $a$, $b$, $c$ en $d$, dan geldt $abcd$ is deelbaar door $7$ als $abc  + 5d$ deelbaar is door $7$. Dit op zichzelf maakt het niet veel makkelijker om te zien of het getal abcd deelbaar is door $7$, maar dit trucje kan je net zo lang herhalen totdat je op een klein getal uitkomt waarvan je wel weet of het deelbaar is door $7$ of niet.

We introduceren het begrip rang, daarmee bedoelen we de plaats van de cijfers: de duizendtallen, honderdtallen, tientallen, eenheden enzovoort. We noteren "$\longleftrightarrow$" om aan te duiden dat deelbaarheid door $7$ voor de getallen aan weerskanten van het teken hetzelfde is: ofwel zijn beide deelbaar, ofwel beide niet.
Om aan te duiden wat de bewerkingen zijn die je op het cijfer van een rang uitvoert, noteren we die bewerking binnen $[$vierkante haken$]$. De methode werkt met twee eenvoudige regels. De methode is het gemakkelijkst uit te leggen met een voorbeeld. Het werkt als volgt.

De bedoeling is om een getal te bereiken dat slechts uit twee cijfers ongelijk aan nul bestaat. Bijvoorbeeld $35$, maar ook $4500$ tellen we hierbij mee aangezien we nullen voor en na het getal hierbij NIET meerekenen. Dit doe je door in opeenvolgende stappen het eerste of het laatste cijfer telkens naar nul te herleiden.

Regel 1

De eerste regel is dat je in drie opeenvolgende rangen respectievelijk een cijfer mag aftrekken, optellen en aftrekken, of omgekeerd. 

$345 \longleftrightarrow [3][4][5] \longleftrightarrow [3-3][4+3][5-3] \longleftrightarrow [0][7][2] \longleftrightarrow 072$.

$72$ is niet deelbaar door $7$, dus het oorspronkelijke getal ook niet.

Dit werkt ook voor langere getallen. 

$5432 \longleftrightarrow [5][4][3][2] \longleftrightarrow [5][4-2][3+2][2-2] \longleftrightarrow [5][2][5][0] [5-5][2+5][5-5][0] \longleftrightarrow [0][7][0][0]$.

$700$ is deelbaar door $7$, dus hierom is $5432$ ook deelbaar door $7$.

Deze methode kan je gebruiken voor elk getal dat uit $3$ of meer cijfers bestaat. Let hierbij dus wel op dat je de veelvouden van $7$ onder de $100$ uit je hoofd weet ($0$, $7$, $14$, $21$, $28$, $35$, $42$, $49$, $56$, $63$, $70$, $77$, $84$, $91$ en $98$). Als je een getal krijgt dat uit $2$ cijfers bestaat maar niet in dit lijstje staat, is het niet deelbaar door $7$.

We bekijken het volgende voorbeeld en passen de regel toe:

$333333 \longleftrightarrow [3-3][3+3][3-3]333 \longleftrightarrow 060333 \longleftrightarrow 0[6-3][0+3][3-3]33  \longleftrightarrow 033033$

Of kort genoteerd 333333 \leftrightarrow 060333 \leftrightarrow 033033.

En hier stoppen we even en kijken terug. We vergelijken het eerste met het derde cijfer. Wat blijkt? Van de eerste en de vierde rang is hetzelfde getal afgetrokken. 

333333 \longleftrightarrow [3-3][3][3][3-3][3][3] \longleftrightarrow 033033$.

Het blijkt dat je dit mag veralgemeniseren.

Regel 2

De tweede regel is dat je bij een bepaalde rang een cijfer mag optellen of aftrekken als je hetzelfde getal in de derde volgende rang ook optelt of aftrekt. We kunnen dus met bovenstaand voorbeeld verder gaan, maar sneller: 

$033033 \longleftrightarrow 003003 \longleftrightarrow 000000$.

$0$ is deelbaar door $7$, dus ons oorspronkelijke getal $333333$ is ook deelbaar door $7$. 

Een ander voorbeeld is:

$362880 \overset{R_2}{\longleftrightarrow} 062580 \overset{R_2}{\longleftrightarrow} 002520 \overset{R_1}{\longleftrightarrow} 000700$.

Merk op dat $7$ in ons lijstje zit, daarom is $362880$ deelbaar door $7$. 

Een speciaal geval van de regels is als we een rang overdragen. Soms heb je dit nodig als je vastzit. Bekijken we opnieuw het vorige voorbeeld. 

$362880 \overset{R_2}{\longleftrightarrow} 06258 \overset{R_2}{\longleftrightarrow} 002520 \overset{R_2}{\longleftrightarrow} 001519 \overset{R_2}{\longleftrightarrow} 000518 \overset{R_1}{\longleftrightarrow} 000063$.

$63$ is deelbaar door $7$ en dus is ook $362880$ deelbaar door $7$.

Waarom werkt dit?

We weten dat $91$ deelbaar is door $7$, dus alle veelvouden van $91$ zijn dat ook. Neem nu een getal van $3$ cijfers $abc$. Hierbij zijn $a$ honderdtallen, $b$ tientallen en $c$ eenheden. 

We passen regel 1 toe met cijfer $1$.

$abc \longleftrightarrow [a-1][b+1][c-1]$. 

Merk op dat dit gelijk is aan:

$abc - 100 + 10 - 1 = abc – 91$. En omdat $91$ deelbaar is door $7$, geldt er dat als $[a-1][b+1][c-1]$ deelbaar is door $7$, $abc-91$ deelbaar door $7$ is en dus dat $abc$ deelbaar is door $7$. 

Voor het cijfer $1$ is regel $1$ dus nu bewezen. Laten we het nu met een ander cijfer ons trucje toepassen, bijvoorbeeld $x$. 

Dan geldt: $abc \longleftrightarrow [a-x][b+x][c-x]$. Merk nu op dat dit gelijk is aan: $abc - x \cdot 100 + x \cdot 10 - x = abc + x(-100 + 10 - 1) = abc + x(-91) = abc –91x$.

En omdat $91$ deelbaar is door $7$, is een veelvoud van $91$ deelbaar door $7$. Hierom geldt er dat als $[a-x][b+x][c-x]$ deelbaar is door $7$, $abc -91x$ deelbaar door $7$ is en dus dat $abc$ deelbaar is door $7$. 

Voor de tweede regel moet je opmerken dat er geldt: $1001 = 11 \cdot 91$. 

Dus neem nu het getal $abcd$ en we passen deze regel toe met een cijfer $x$. $abcd \longleftrightarrow [a - x][b][c][d - x]$. Merk op dat dit gelijk is aan: $abcd - x \cdot 1000 - x = abcd - 1001x$. 

En dus volgens dezelfde wijze als ons vorige bewijs: omdat $1001$ deelbaar is door $7$ geldt dat $abcd - 1001x$ deelbaar is door $7$ als $abcd$ deelbaar is door $7$. 

Als laatste willen we graag ook opmerken dat dit ook werkt voor grotere getallen. Neem als voorbeeld het getal $abcdef$. En we passen ons eerste trucje in het midden toe op $bcd$ met cijfer $x$. 

Dan geldt:
$[a][b - x][c + x][d - x][e][f] = abcdef - x \cdot 10000 + x \cdot 1000 - x \cdot 100$
${} = abcdef - x(10000 - 1000 + 100) = abccdef -9100x$ en hiervoor geldt hetzelfde als voor de
kleinere getallen. Dit werkt met de tweede regel ook precies hetzelfde!

Opdracht 1 Werk voor de volgende getallen uit of ze deelbaar zijn door $7$ door gebruik te maken van regel 1: $435, 3537, 385, 6720, 287, 9891$. Opdracht 2 Werk voor de volgende getallen uit of ze deelbaar zijn door $7$ door gebruik te maken van beide regels: $65520, 117649, 123456789, 123123456456789789$.

Je zag in het bewijs dat zowel regel 1 als regel 2 werken op basis van het getal $91$. $91$ is niet alleen een veelvoud van $7$, maar ook van $13$. Door gebruik te maken van beide regels weet je ook meteen of een getal deelbaar is door 13. Als je het getal met behulp van deze regels kunt vereenvoudigen tot een veelvoud van $13$ ($0$, $13$, $26$, $39$, $52$, $65$, $78$ en $91$) dan is het getal deelbaar door $13$.

Opdracht 3 Controleer nu welk van deze getallen deelbaar zijn door 7 en door 13: $362880, 131313, 777777, 4709160, 12344321, 1234554321$.