Waarschijnlijk was het in de tijd dat ik bezig was met een puzzel over schaken. Ik droomde in ieder geval het volgende. Ik had een schaakbord in handen en hield dat een beetje schuin omhoog. Plotseling bleken alle zwarte velden 'los' te zitten. Het bord bestond eigenlijk uit 64 witte velden, waarvan er 32 met zwarte vlakjes waren belegd. Maar deze zwarte velden zaten niet geheel vast en begonnen te schuiven. Ze zakten naar beneden, en kwamen elk op afzonderlijke witte velden terecht. 

Er ontstond dus een ‘schaakbord’ met een ander dan het gebruikelijke om-en-om wit-zwart-motief. In figuur 1 staat een voorbeeld van zo'n geschud schaakbord.

Figuur 1 Een gewoon schaakbord en een geschud schaakbord

Ik vroeg me toen af hoeveel verschillende van dit soort geschudde schaakborden er waren, met dus $32$ witte en $32$ zwarte velden. Het antwoord op die vraag liep echter uit de hand: het waren er echt te veel…

Daarna concentreerde ik me eerst maar op een kleiner schaakbordje, van drie bij drie, het principe huldigend dat je bij een te groot probleem eerst een eenvoudiger variant moet bestuderen. Uitgangspunt is een $3\times 3$-bord met $5$ zwarte en $4$ witte velden.

Figuur 2 Klein schaakbord en drie voorbeelden van geschudde varianten

De tweede en derde variant in figuur 2 beschouw ik als dezelfde: draai de tweede een kwartslag in wijzerrichting en spiegel hem in een verticale lijn; dan gaat de tweede variant over in de derde. De vierde variant is anders, want er liggen daar drie zwarte velden op een rij in het midden van het schaakbordje; dat is niet zo bij de tweede en derde variant (die hun drie zwarte velden op een rand hebben!).

Opgave Hoeveel verschillende geschudde $3\times 3$-schaakborden zijn er?

 

Bekijk oplossing