A	B
Figuur 1		Figuur 2

In de vorige artikelen zijn eenvoudige Borromeaanse drietallen aan de orde geweest: drie ringen die duidelijk op één punt met elkaar waren vervlochten. Koos Verhoeff ontwierp drietallen die volledig met elkaar zijn verweven. Het lijken niet direct Borromeaanse drietallen (figuur 1). De structuren van beide figuren 1A en 1B zijn hetzelfde. Ze zijn elk samengesteld uit drie verschillend gekleurde congruente ruimtelijke achttienhoeken.

De achttienhoeken van figuur 1A bestaan uit 18 even lange balkjes die steeds onder een hoek van 45° (gewoon verstek) uit een lange balk met vierkante doorsnede zijn gezaagd. In figuur 1B is uitgegaan van dezelfde vierkante balk, die eerst 45° is gedraaid alvorens onder een hoek van 45° daaruit de 18 balkjes te zagen. Dit kwam eerder voor bij een veel eenvoudiger drietal (figuur 2). Dat leidt tot meer tussenruimte tussen de 18-hoeken en doet figuur 1B wat luchtiger aan dan figuur 1A waarin ze strak om elkaar heen slingeren.

MaakproCes

Dat het inderdaad om Borromeaanse drietallen gaat wordt duidelijk bij het doorlopen van het maakproces. In de figuren 3A en 3B staan twee van de in figuur 1B gebruikte achttienhoeken. Ze zijn verschillend gekleurd en anders georiënteerd, ongeveer 120° ten opzichte van elkaar gedraaid. Zo passen ze op elkaar (figuur 3C). Daarna moet bijna balkje voor balkje de rode achttienhoek er doorheen worden gevlochten. 

A	B	C
Figuur 3

Maar wel zo dat de rode balkjes altijd voor de witte achttienhoek blijven en steeds achter de grijze omgaan (figuur 4). Uiteindelijk resulteert dat in een rode achttienhoek die op zijn beurt 120° is gedraaid ten opzichte van de grijze en de witte achttienhoeken. Als in figuur 1A of 1B om het even welke achttienhoek wordt doorgeknipt en verwijderd, is duidelijk dat de twee overgebleven anders gekleurde achttienhoeken volledig vrij komen te liggen.

Opgave 1 De objecten in figuur 1A en 1B hebben drie kleuren. Dat is niet alleen om ze een fraaier uiterlijk te geven, maar het helpt ook bij het uitpluizen hoe ze in elkaar zitten. Figuur 5 bevat twee vergelijkbare ongekleurde objecten. Zoek uit hoe die in elkaar zitten.

A	B
Figuur 5

Geen symmetrie

Beide objecten in figuur 1A en 1B hebben als omhullende vorm een denkbeeldige gelijkzijdige driehoek. Beide kunnen verticaal staan op een van de denkbeeldige zijden van die omhullende driehoek, zoals figuur 6 bij die van figuur 1A duidelijk toont.

De afzonderlijke achttienhoeken hebben geen (rotatie) symmetrie (figuur 3). Maar als Borromeaans samengesteld drietal zouden ze een drietallige rotatie-as kunnen hebben loodrecht door het midden van de denkbeeldige omhullende gelijkzijdige driehoek, als ze alle drie dezelfde kleur zouden hebben. In de afgebeelde situatie is dat niet het geval. Kleuring verduidelijkt dus niet altijd. Zo is hier door kleuring rotatiesymmetrie verloren gegaan. 

Opgave 2 Inmiddels zal duidelijk zijn wat de (maximale) lengte is van de in figuur 1A gebruikte balkjes. Zo niet, bepaal die dan. De maximale lengte van de balkjes in figuur 1B is een ander verhaal. Bereken die maximale lengte. Maak daarbij gebruik van figuur 2 om het inzichtelijk te houden, want de daar gebruikte balkjes hebben dezelfde lengte als die in figuur 1B.

 

Bekijk oplossing