Opgave 453 [oOO]

Teken de loodlijnen vanuit $P$ op $AB$, $BC$ en $CA$ en noem hun lengtes respectievelijk $h_1$, $h_2$ en $h_3$. Er geldt dat  

$${\rm opp\ } \triangle ABC = {\rm opp\ } \triangle PBC + {\rm opp\ } \triangle PAB + {\rm opp\ } \triangle PCA = \frac{1}{2}h_1 |AB| + \frac{1}{2}h_2 |BC| + \frac{1}{2}h_3 |CA|.$$

Daarnaast geldt

$${\rm opp\ ☐} PDBE = {\rm opp\ } \triangle PDB + {\rm opp\ } \triangle PBE = \frac{1}{2}h_1 |DB| + \frac{1}{2}h_2 |BE| = \frac{1}{4}h_1 |AB| + \frac{1}{4}h_2 |BC|.$$

Nu volgt het gevraagde, namelijk:

$$2 \cdot {\rm opp\ ☐} PDBE = \frac{1}{2}h_1 |AB| + \frac{1}{2}h_2 |BC| < \frac{1}{2}h_1 |AB| + \frac{1}{2}h_2 |BC| + \frac{1}{2}h_3 |CA| = {\rm opp\ } \triangle ABC.$$

Opgave 454 [oOO]

Er zijn drie mogelijkheden hoe een macht $a^b$ gelijk kan zijn aan $1$:

• $a = 1$;
• $a \neq 0$ en $b = 0$;
• $a = -1$ en $b$ is een even geheel getal.

De eerste optie geeft $x^2 + x - 1 = 1$, oftewel $x = -2$ of $x = 1$. De tweede geeft $x^2 + x - 1 \neq 0$ en $x^2 - 1 = 0$, oftewel $x = -1$ of $x = 1$. De laatste optie geeft $x^2 + x - 1 = -1$ en $x^2 - 1$ even, wat leidt tot $x = -1$. De oplossingen zijn dus $x = -2$, $x = -1$ en $x = 1$.

Opgave 455 [ooO]

We bekijken de eerste paar getallen:

$9 \cdot 16$	$=$	$(12)^2$
$9 \cdot 1156$	$=$	$(102)^2$
$9 \cdot 111556$	$=$	$(1002)^2$.

Hier lijkt een patroon in te zitten en we bewijzen dat dit altijd geldt. We gebruiken de volgende truc: als we $n$ keer een $1$ achter elkaar zetten, dan kunnen we dit ook schrijven als

$$\frac{10^n - 1}{9}.$$

Als in het getal $11\dots 15 \dots 56$ in totaal $n$ keer een $1$ voorkomt, dan komt er $n - 1$ keer een $5$ voor, en geldt dat 

$11 \ldots 15 \ldots 56$	$=$	$\underbrace{11\dots 1}_{2n \rm\ keer} + \underbrace{44\dots 4}_{n \rm\ keer} + 1$
	$=$	$\frac{10^{2n} - 1}{9} + 4 \cdot \frac{10^{n} - 1}{9} + 1$.

Zo vinden we dat

$9 \cdot (11\dots 15 \dots 56)$	$=$	$10^{2n} - 1 + 4 (10^{n} - 1) + 9$
	$=$	$10^{2n} + 4 \cdot 10^{n} + 4$
	$=$	$(10^n + 2)^2$.

Opgave 456 [ooO]

We maken onderstaande tabel.

Aan het eind van dag $19$ heeft Harry nog $1$ euro op zijn rekening, maar op dag $20$ is dit $-1$. Vanaf dat moment blijft het negatief. We zien dit als volgt: op dag $21$ staat er $-3$ euro op en op dag $22$ is dat $-5$. Bekijk nu de volgende zes dagen. Hierin zitten drie even dagen. Als een even dag een priemmacht is, dan moet het wel een macht van twee zijn. Echter, de tweemachten boven $21$ liggen minstens $16$ uit elkaar. Dat betekent dat van de drie even dagen er maximaal één dag kan zijn waar er geld op de rekening bij komt. Na deze $6$ dagen komt er dus maximaal $4 -4 = 0$ euro bij. Daarnaast zijn er maximaal $3$ dagen achter elkaar waar Harry geld op de rekening stort, dus tijdens deze $6$ dagen staat Harry steeds rood. Dit argument kunnen we nu blijven herhalen, wat laat zien dat Harry vanaf dag $20$ altijd rood zal blijven staan. 

Dag	$\ 1$	$\ 2$	$\ 3$	$\ 4$	$\ 5$	$\ 6$	$\ 7$	$\ 8$	$\ 9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$
Geld	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$3$	$4$	$5$	$6$	$4$	$5$	$3$	$4$	$2$	$0$	$1$	$2$	$0$	$1$

Voor de bonus werkt een vergelijkbaar argument, maar dan moeten we iets langer doorrekenen en iets voorzichtiger te werk gaan. We maken onderstaande tabellen om te kijken hoe lang de rekening van Harry het in dit geval volhoudt. Op dag 44 zijn we blut, waarna we rood beginnen te staan. Na nog even doorrekenen, zien we dat de rekening na 51 dagen staat op $-3$ euro, en na $52$ dagen op $-4$. 

Bekijk nu wat er gebeurt gedurende een maand van 30 dagen. Het is eenvoudig na te gaan dat er van deze dagen precies 22 deelbaar zijn door ofwel 2, ofwel 3, ofwel 5. Op deze dagen zal Harry dus geld van zijn rekening opnemen, tenzij deze dagen precies een 2-macht, 3-macht of 5-macht zijn. Omdat deze machten inmiddels erg ver uit elkaar liggen, zullen we in deze dagen hoogstens 1 van elk zulke machten aantreffen. Dit betekent dat we na 30 dagen hoogstens $8+3 = 11$ maal geld hebben gestort, en minstens $22 - 3 = 19$ keer geld hebben opgenomen. Netto hebben we dus zeker geld verloren. Omdat we op alle even dagen, op mogelijk één na, geld opnamen, kunnen we niet meer dan drie dagen achtereen geld storten. Hierdoor weten we dat we ook niet tussendoor even positief kunnen staan, daar we al op $-4$ zaten.

Dag	$\ 1$	$\ 2$	$\ 3$	$\ 4$	$\ 5$	$\ 6$	$\ 7$	$\ 8$	$\ 9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$
Geld	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$4$	$5$	$6$	$7$	$6$	$7$	$6$	$7$	$6$	$5$	$6$	$7$	$6$	$7$

 

Dag	$20$	$21$	$22$	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$	$36$
Geld	$6$	$5$	$4$	$5$	$4$	$5$	$4$	$5$	$4$	$5$	$4$	$5$	$6$	$5$	$4$	$3$	$2$

 

Dag	$37$	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$	$43$	$44$	$45$	$46$	$47$	$48$	$49$	$50$	$51$
Geld	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$-1$	$-2$	$-1$	$-2$	$-3$