Pythagoras Olympiade 60-6, juni 2021

Pythagoras Olympiade 60-6, juni 2021

Je inzending moet bij ons binnen zijn vóór

1 september 2021

Opgave 453 [oOO]

Beschouw een driehoek $ABC$ en laat $D$ en $E$ de middens zijn van respectievelijk $AB$ en $BC$. Zij $P$ een punt binnen de driehoek. 

Toon aan dat de oppervlakte van vierhoek $PDBE$ altijd kleiner is dan de helft van de oppervlakte van driehoek $ABC$.

Opgave 454 [oOO]

Bepaal alle oplossingen van de vergelijking $(x^2+x-1)^{x^2-1}=1$.

Opgave 455 [ooO]

Bewijs dat de getallen $9 \cdot 16$; $9 \cdot 1156$; $9 \cdot 111556$; $9 \cdot 11115556$; $\ldots$ allemaal kwadraten zijn.

Opgave 456 [ooO]

Harry heeft een bankrekening en op dag 1 staat daar precies 1 euro op. Op dag $n$ voor $n \ge 2$ stort Harry $1$ euro op zijn bankrekening precies als $n$ een macht is van een priemgetal (bijvoorbeeld $2^2 = 4$ en $7^1 = 7$ zijn priemmachten). Als $n$ geen priemmacht is, neemt hij $2$ euro van zijn bankrekening op. Vanaf welke dag zal Harry voor altijd rood blijven staan?

$Bonus:$ wat gebeurt er als Harry elke dag dat n geen priemmacht is slechts $1$ euro van zijn bankrekening opneemt? Onderbouw je antwoorden.