Eerst laten we zien dat $N$ minstens gelijk is aan $9$. Bekijk een groepje van vier kabouters, bijvoorbeeld $A$, $B$, $C$ en $D$. Je kunt op zes manieren een tweetal samenstellen: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$ en $CD$. Nadat deze zes paren zich bij de kerstman hebben gemeld, is er beslist minstens één getal dat de kerstman meer dan één keer heeft genoemd, er zijn immers maar vier getallen.

Het kan bijvoorbeeld zijn dat de kerstman bij $AB$ het getal van $A$ zegt, bij $AC$ dat van $A$, bij $AD$ dat van $A$, bij $BC$ dat van $B$, bij $BD$ dat van $D$ en bij $CD$ dat van $C$. In dat geval weet $A$ zijn getal, want dat is drie keer genoemd (bij $AB$, $AC$ en $AD$). Ander voorbeeld: bij $AB$ zegt de kerstman het getal van $A$, bij $AC$ dat van $C$, bij $AD$ dat van $D$, bij $BC$ dat van $C$, bij $BD$ dat van $B$ en bij $CD$ dat van $D$. In dat geval weten $C$ en $D$ hun getal: $C$’s getal is bij $AC$ en $BC$ genoemd, $D$’s getal bij $AD$ en $CD$.

Na het eerste groepje, bestaande uit bijvoorbeeld $A$, $B$, $C$ en $D$, is er dus minstens één kabouter, zeg $A$, die zijn getal kent. Laat $E$ nu de plaats van $A$ innemen en doe hetzelfde met het groepje $B$, $C$, $D$, $E$. Nadat elk van de zes paren zich bij de kerstman heeft gemeld, is er weer minstens één kabouter die zijn getal kent. $F$ neemt diens plek in en zo gaan de kabouters door, totdat het laatste groepje van vier kabouters over is. Van dat laatste groepje weet uiteindelijk ook minstens één kabouter zijn getal. Er zijn dan in totaal minstens negen kabouters die hun getal kennen.

We weten nu dat er in elk geval een strategie is waarbij negen kabouters hunnen getal kunnen achterhalen. Kunnen de overige drie kabouters ook achter hun getal komen? Als ze pech hebben niet. Het kan bijvoorbeeld zo zijn dat de kabouters $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$ en $L$ (in deze volgorde) de getallen $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ en $12$ hebben. Als de kerstman vervelend is, kan hij besluiten het volgende te doen. Als een van de kabouters $D$ tot en met $L$ onder een kabouterpaar zit, noemt hij diens getal. Als ze allebei uit de verzameling $D$ tot en met $L$ komen, noemt hij willekeurig een van de twee getallen. En wat doet de kerstman bij de kabouterparen $AB$, $AC$ en $BC$? $A$, $B$ en $C$ hebben de getallen $1$, $2$ en $3$, maar niet per se in deze volgorde. De kerstman zegt bij $AB$ het getal $1$, bij $BC$ zegt hij $2$ en bij $AC$ zegt hij $3$. Er zijn dan twee mogelijke verdelingen: $A$, $B$, $C$ hebben achtereenvolgens $1$, $2$, $3$ óf $3$, $1$, $2$. De kabouters $A$, $B$ en $C$ kunnen in dit geval nooit zonder gokwerk hun eigen getal achterhalen.

We hebben hiermee laten zien dat de maximale waarde van $N$ gelijk is aan $9$.