Prijsvraag: Tweesommen op een dartbord

Prijsvraag: Tweesommen op een dartbord

In Pythagoras 53-1 van september 2018 stond een leuk probleem over het spel darts. Het ging daar over de plek waar je het best kunt mikken met je pijlen. Dit stukje gaat over de vraag hoe de getallenverdeling van de nummers 1 tot en met 20 op het dartbord is ontstaan en of dat wel de ‘beste’ verdeling is.

Figuur 1De getallenverdeling (‘nummering’) van $1$ tot en met $20$ van het dartboard is een vinding uit 1896 van de 44-jarige timmerman Jack Bury. Henk van Vessem vertelt in zijn Basisboek Darts (1999) de reden achter de gekozen indeling. Bury had de nummers natuurlijk in telvolgorde kunnen plaatsen, maar dan zou het gemakkelijk worden om veel punten te verzamelen. De hoge nummers zitten dan bij elkaar. Je hoeft in dat geval niet zo nauwkeurig te mikken voor een hoge score. Bury koos de nummers daarom zó, dat de som van twee naast elkaar liggende vakken maar weinig varieert. We noemen zo’n som van twee naast elkaar liggende nummers een ‘2-som’. Op het dartbord schommelt deze 2-som tussen $16$ (bij $6$ naast $10)$ en $26\ (19$ naast $7).$ Wie onnauwkeurig richt, bereikt daardoor gemiddeld een lage score. Er is geen gedeelte van het bord waar missers gemiddeld genomen toch nog voor een hoge score kunnen zorgen.

Maar: kan deze indeling dan niet veel beter? Met andere woorden, is er een andere ‘rondgang’ van $1$ tot en met $20$ mogelijk waarbij de 2-sommen nog minder variëren? De range, een maat uit de beschrijvende statistiek, geeft op een heel simpele manier de spreiding van een groep getallen aan. De range is het verschil tussen hoogste en laagste waarde in een groep getallen. Op het dartbord is die range van 2-sommen $26 - 16 = 10.$ Kan die range van de twintig 2-sommen bij een andere bordindeling lager dan $10$ worden?

NB: we zien hierbij af van de afwijkende waarden bij de double ring, de triple ring en de beide bullseyes. Het gaat alleen over de verdeling van de nummers $1$ tot en met $20.$

Geef een dartbordindeling waarbij de range van de 2-sommen minimaal is.

Onder de inzenders van een juiste oplossing van deze vraag worden drie exemplaren van het nieuwe puzzelboek Denkraam – Puzzels voor breinbazen met getallen, letters en vormen verloot. Inzenden kan tot uiterlijk 15 april 2019 met een e-mail naar prijsvraag@pyth.eu.