QR-codes, bevolkingsgroei en een harmonograaf

QR-codes, bevolkingsgroei en een harmonograaf

Dit jaar werd voor de tweede keer de Pythagoras Profielwerkstukprijs uitgereikt. De jury had een luxe-probleem: alle ingezonden werkstukken hadden onvergelijkbare kwaliteiten, originaliteit, diepte, combinaties van zware wiskunde en toepassingen. Voor de jury was het dan ook frustrerend dat ze niet meer dan drie werkstukken voor de finale kon kiezen.

De Pythagoras Profielwerkstuk was dit jaar een groot feest. Het niveau was net als vorig jaar zeer hoog, alleen waren er nu veel meer inzendingen. Leerlingen komen ongelooflijk veel verder dan het gewone middelbare-schoolniveau. Het lijkt wel alsof sommige deelnemers er al een halve universitaire studie op hebben zitten. De jury, bestaande uit Matthijs Coster, Sonja Cox en Jeroen Spandaw, had het dan ook erg moeilijk. Er waren nog minstens drie andere werkstukken die eigenlijk net zo goed in de finale thuishoorden.

Tijdens het Nederlands Mathematisch Congres, op 12 april  in Utrecht, werden er drie fantastische presentaties gegeven door de finalisten Tjeu Kayim, Iris van den Bosch, Emma Kersten en Eva van Tegelen.

Tjeu Kayim won de eerste prijs met Error-correctie van QR-codes, op de voet gevolgd door De Bevolkingssom van Emma Kersten en Eva van Tegelen. Iris van den Bosch won met een door haar zelf gemaakte harmonograaf de derde prijs. Deze keuze werd door een publieksstemming bepaald.

Bij hun werkstukken en die van een aantal anderen staan we stil. Helaas is het ondoenlijk om aan álle ingezonden profielwerkstukken volledig recht te doen.

Wiskundeles en chocola

Er waren twee inzendingen van havo-scholieren. Beide gingen ze over het verbeteren van de wiskundeles. Esther Smit en Judith Modderman (CSG Augustinus, Groningen) schreven een aanstekelijk en mooi verzorgd profielwerkstuk over het effect van het eten van chocola bij het maken van een wiskundeproefwerk.

Latisha Migchelsen en Leonie Sloot (Christelijk College Nassau-Veluwe, Harderwijk) bestudeerden het gebruik van een game om algebra aan te leren bij vwo-leerlingen uit de eerste klas. Ze vergeleken een aantal lessen met een bekende app met hetzelfde aantal lessen waarin zij zelf frontaal les gaven. Geheel tegen hun verwachting in scoorden zij als docenten veel beter dan de game!

Programmeren

Veel inzenders zijn zeer bedreven in het programmeren, meestal in Python. Zo hebben Guyon Phoelich en Rogier van Bruggen (Lyceum Ypenburg, Den Haag) gezocht naar het grootste priemgetal dat je zelf door middel van programmeren in Python kunt vinden. Sachin Umans en Sarah Jansen (Kennemer College, Heemskerk) hebben eigenhandig in Java Mandelbrot- en Juliafractals geprogrammeerd.

Jeroen van Riel (Gymnasium Beekvliet, Sint-Michielsgestel) heeft een cursus bio-informatica op de Universiteit Leiden gevolgd. In zijn werkstuk over DNA-sequence-alignment beschrijft hij de problemen bij het vergelijken van stukken DNA. Een groot obstakel is hier het ontbreken van voldoende rekenkracht om de vergelijkingen uit te voeren. Jeroen heeft vier verschillende strategieën ontwikkeld en getest met Pythonprogramma’s .

Zeer bijzonder is de volledig uitgewerkte winststrategie voor het spel Nim, door Nina van Diermen en Kaylee de Heus (Amadeus Lyceum, Vleuten). In hun profielwerkstuk is goed gedocumenteerd en met duidelijke illustraties volledig uitgelegd hoe je Nim altijd kan winnen. Daarna is de strategie geprogrammeerd in Python.

Het met onderkoelde humor geschreven Dagelijkse toepassingen van de speltheorie van Daniel Kuckartz (Baudartius College, Zutphen) schetst een overzicht van verdeelproblemen. Allerlei strategieën worden met Python geïllustreerd.

Error-correctie van QR-codes

Ondanks de gedeeltelijke
bedekking van de QR-code
is de code nog steeds
goed te lezen

Ook het winnende profielwerkstuk Error-correctie van QR-codes bestaat voor een groot deel uit programmeerwerk in Python. De auteur Tjeu Kayim (Zwijsen College, Veghel) gaat volgend jaar dan ook informatica studeren. Zijn profielwerkstuk leest als een goed leerboek, compleet met opgaven voor de lezer. De codering en decodering is er volledig in beschreven.

Wiskundig is het ook zeer indrukwekkend: de Hamming-code, eindige lichaamsuitbreidingen en de Reed-Solomoncode worden allemaal geïntroduceerd en gebruikt in de constructie van de code. Het is een buitengewone prestatie om zoveel theoretische wiskunde te combineren met een toegepast onderwerp als QR-coderen en dit alles ook nog begrijpelijk voor het voetlicht te brengen. In principe kan je na het lezen van dit werkstuk zelf je QR-scanner gaan bouwen.

 

Getallen

Jelmer Hinssen en Anouk Oudshoorn (Stedelijk Gymnasium, Nijmegen) schreven een kraakheldere introductie in de Pell-vergelijking $x^2-dy^2=1$. Ze hebben deze vergelijking benaderd door middel van kettingbreuken. Daarna hebben ze zich gericht op complexwaardige oplossingen van $x^2+dy^2=1$.

Er waren twee nogal verschillende werkstukken over oneindigheid. Alice van der Giessen (Jacobus Fruytier Scholengemeenschap, Apeldoorn) schreef een Engelstalig stuk over allerlei facetten van oneindigheid. Ze gaf een mooie uitleg van het Hilberthotel. Pieter van Essen (Bonhoeffer College, Castricum) schreef een behoedzame geschiedkundige opbouw waarbij goed naar voren kwam hoe men grip kreeg op het verschijnsel oneindigheid en ook in wat voor bewoordingen dit gebeurde. Ook bij hem kwam het Hilberthotel voorbij, maar ook allerlei soorten oneindigheid en een begrijpelijke uitleg over de continuümhypothese. Leerlingen schuwen moeilijke onderwerpen niet!

De twee werkstukken over $\pi$ – één historisch, door Lynn Bosveld en Sofie Cappenberg (Montaigne Lyceum, Den Haag), en één dat gericht is op analytische benaderingen van Ramanujan, door Björn Johannesson (Gymnasium Beekvliet, Sint-Michielsgestel) – zijn allebei de moeite waard. In dit tweede werkstuk probeert Björn de beroemde snel convergerende formule

          \(\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^\infty\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}\)

af te leiden en te verklaren. Hij komt daarbij een heel eind; een indrukwekkende prestatie.

Modelleren

Er is meer gemodelleerd dan vorig jaar. In Drukte in het trappenhuis hebben Guus Hertogh en Kiki Hajer (Vlietland College, Leiden) de leerlingenstromen gedurende lokaalwisselingen in het trappenhuis van hun school gemodelleerd. Het wiskundig modelleren stond op een hoog niveau. Eigenschappen van de werkelijke situatie werden nauwgezet geanalyseerd voordat ze in het model werden ingebracht.

Niek Berends en Thom Goesten (Cambium College Buys Ballot, Zaltbommel) hebben geprobeerd uit de dimensies van natuurkundige grootheden en het aflezen van afmetingen van een foto van een explosie van een kernbom de kracht van de bom te berekenen. Deze techniek heet dimensie-analyse en brengt allerlei verrassende resultaten voort. Als je het zelf wilt doen: het goed leesbare profielwerkstuk heeft allerlei stappenplannen waarmee je zelf aan de slag kan.

Iris van den Bosch (Montessori Lyceum Flevoland, Almere) heeft zelf een harmonograaf gebouwd. Dat is een mechanisch apparaat dat samengestelde (gedempte) harmonische trillingen in beeld brengt. De Lissajous-achtige figuren die het apparaat produceerde, kon zij in wiskundige parametervoorstellingen samenvatten door de mechanica van het apparaat precies te analyseren. Het was een prachtige combinatie van experimentele wiskunde en theoretische onderbouwing.

Heel goed lukte het modelleren van bevolkingsgroei door Emma Kersten en Eva van Tegelen (St. Bonifaciuscollege, Utrecht). Fundamentele parameters, zoals geboortecijfer, sterftecijfer, migratiecijfer en het aantal vruchtbare vrouwen in een land, werden aan onderzoek onderworpen en kwamen op goed onderbouwde en genuanceerde manier in het model terecht. Het model hebben ze door middel van een computersimulatie getest en vergeleken met uitkomsten van een recent rapport van de Verenigde Naties.

Gravitatie

Joost van der Loo (Sint-Janslyceum, 's-Hertogenbosch) heeft een werkstuk geschreven waarin hij de gemeten en de berekende waarde van een zwaartekrachtgolf (of gravitatiegolf) vergelijkt. Hij heeft metingen van het omstreeks 1997 in gebruik genomen Laser Interferometer Gravitational Wave Observatory (LIGO) gebruikt. Het LIGO detecteerde in september 2015 voor het eerst een zwaartekrachtgolf.

Het gravitatie-observatorium in Hanford (Californië, VS). Hier werd in 2015 voor het eerst een zwaartekrachtgolf gedetecteerd. (Foto: Caltech/MIT/LIGO Laboratory)
 

Onder supervisie van Yassir Awwad van het Institute for Theoretical Physics van de Universiteit Utrecht heeft Joost laten zien dat de in 2015 waargenomen zwaartekrachtgolf op grond van berekeningen volgens de algemene relativiteitstheorie ongeveer dezelfde massa opleverde als de door het LIGO gemeten massa.

Om dit profielwerkstuk te kunnen schrijven, heeft hij diepgaande kennis moeten verwerven op het gebied van differentiaalmeetkunde en de algemene relativiteitstheorie. Een ongelooflijke prestatie: als bachelor-scriptie zou het nog steeds een geweldig resultaat zijn!

 

Als je geïnteresseerd bent om een van de hier besproken profielwerkstukken te lezen, kun je een mailtje sturen naar derk@pyth.eu.