Sangaku 1

De lengte van de zijden van het grote vierkant is $1$. De kwartcirkels, het kleine vierkant en de kleine cirkel raken elkaar in één punt. Bereken de lengte van zijde $x$ van het kleine vierkant en de straal $r$ van de kleine cirkel.

Sangaku 2

De drie cirkels raken elkaar en de rechte lijn in één punt. De drie cirkels hebben middelpunten $c_1$, $c_2$ en $c_3$ en stralen $r_1$, $r_2$ en $r_3$. Laat zien dat

$$\frac{1}{\sqrt{r_2}}=\frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_3}}.$$

Sangaku 3

Het vierkant heeft zijden van lengte $4$ en de twee schuine lijnen zijn raaklijnen aan beide kleine cirkels en aan de halve cirkel. Bewijs dat de verhouding tussen de stralen van de twee kleine cirkels gelijk is aan $3 : 2$.

Sangaku 4

Het grote vierkant heeft zijden van lengte $1$. Het is gevuld met een vierkant en vier congruente rechthoekige driehoeken met hun ingeschreven cirkels. Hoe groot is de straal van de cirkels als ze allemaal gelijk zijn?

Handig

• Een lijn die de middelpunten van twee elkaar van buiten rakende cirkels verbindt gaat ook door het raakpunt; de afstand tussen de twee middelpunten is gelijk aan de som van de stralen van de twee cirkels. Dit is te zien in de bovenste figuur.
  
  
  
   
• In de onderste figuur zijn drie raaklijneigenschappen te zien. Het middelpunt van de  cirkel is $C$ en de hoeken op de raakpunten van $A$ en $B$ zijn beide $90^{\rm o}$. De  raaksegmenten $AP$ en $BP$ zijn even lang en de hoeken $\alpha$ en $\beta$ hebben een som van $180^{\rm o}$. Deze eigenschappen zijn makkelijk te bewijzen.

Bronnen

• Sander de Putten, Japanse tempelwiskunde, Pythagoras jaargang 38 nummer 5 (p 14 - 17)
• Sangaku: Reflections on the Phenomenon. De vier Sangaku’s uit de lijst aan het eind van het artikel zijn #57, #63, #68, en #27.