Op maandag 10 februari vestigde rekenwonder Willem Bouman (80 jaar) aan de TU Eindhoven een nieuw wereldrecord. Daarvoor moest hij elk van tien (willekeurig door de jury gekozen) 5-cijferige getallen schrijven als som van vier kwadraten. Hij mocht alleen naar de getallen kijken en dan een antwoord opschrijven. Daarna controleren en verbeteren was niet toegestaan. Alles moest uit het hoofd. Het lukte hem zelfs binnen vijf minuten alle tien zijn oplossingen te berekenen. (zie tabel 1).

Niet alle wiskundigen zijn goed in rekenen. Maar ook zonder rekenen kun je over dit probleem nadenken en eigenschappen ontdekken en bewijzen.

Een eerste vraag die misschien bij je opkomt is: had het niet kunnen gebeuren dat er een getal tussen zat waarvoor het Willem niet kon lukken, omdat het daarvoor gewoon onmogelijk is vier kwadraten te vinden die optellen tot dat getal? Die vraag werd in 1770 beantwoord door de Frans-Italiaanse wiskundige Lagrange met zijn bewijs van de (al langer vermoede) vier-kwadratenstelling: Elk natuurlijk getal is de som van vier kwadraten. Het bewijs van deze stelling kun je nalezen in Pythagoras 55-2, november 2015 (vanaf pagina 26). Willem kon er dus niet ‘ingeluisd’ worden.

Vier of drie kwadraten

Een volgende vraag is dan natuurlijk: waarom een som van vier kwadraten en niet een som van drie kwadraten? Met drie kwadraten lukt het inderdaad vaak ook. Bij de oplossingen die Willem vond zit er één met twee kwadraten en één met drie kwadraten (nummers $2$ en $8$ in de tabel). Uit een nadere analyse (met de computer) blijkt dat van zijn tien getallen er zelfs acht als som van drie kwadraten te schrijven zijn, en slechts twee niet (nummers $1$ en $3$ in tabel 2, zie kolommen $s_3$ en $s_2$; de overige kolommen komen later aan bod). Je kunt zelf ook eenvoudig nagaan dat het getal $7$ niet te schrijven is als som van drie kwadraten.

$i$		$n$		$=$		$a$		$\times$		$b^2$		$s_2$		$s_3$		$s_4$		$m$		$r$
$1$		$68\,215$		$=$		$68\:215$		$\times$		$1^2$		$0$		$0$		$2000$		$261$		$261$
$2$		$70\,480$		$=$		$4\,405$		$\times$		$4^2$		$2$		$7$		$374$		$264$		$265$
$3$		$52\,375$		$=$		$2\,095$		$\times$		$5^2$		$0$		$0$		$1416$		$227$		$228$
$4$		$41\,064$		$=$		$10\:266$		$\times$		$2^2$		$0$		$18$		$474$		$202$		$202$
$5$		$23\,181$		$=$		$23\:181$		$\times$		$1^2$		$0$		$22$		$674$		$152$		$152$
$6$		$37\,770$		$=$		$37\:770$		$\times$		$1^2$		$0$		$38$		$1954$		$194$		$194$
$7$		$50\,733$		$=$		$5\,637$		$\times$		$3^2$		$0$		$28$		$1627$		$225$		$225$
$8$		$26\,693$		$=$		$26\:693$		$\times$		$1^2$		$1$		$36$		$587$		$162$		$163$
$9$		$65\,102$		$=$		$65\:102$		$\times$		$1^2$		$0$		$35$		$2102$		$255$		$255$
$10$		$35\,365$		$=$		$35\:365$		$\times$		$1^2$		$0$		$18$		$1004$		$188$		$188$
Legenda:
$i$		=		volgnummer van het gegeven getal
$n$		=		gegeven getal om op te lossen
$a$		=		kwadraatvrije deel van $n$ (niet deelbaar door kwadraat $> 1$)
$b^2$		=		grootste kwadraat dat $n$ deelt
$s_t$		=		aantal oplossingen met $t$ kwadraten
$m^2$		=		grootste term in alle oplossingen
$r$		=		$\sqrt{n}$ naar beneden afgerond, dus $r^2 \le n < (r + 1)^2$
Tabel 2: Een analyse van de getallen in tabel 1

De Franse wiskundige Legendre heeft uitgezocht welke getallen wel en welke niet te schrijven zijn als som van drie kwadraten. Zijn drie-kwadratenstelling dateert uit 1798: Een natuurlijk getal $n$ is niet de som van drie kwadraten, dan en slechts dan, als er natuurlijke getallen $k$ en $l$ bestaan waarvoor $n = 4^k(8l +7)$. Deze voorwaarde kun je controleren door eerst alle factoren $4$ uit te delen en vervolgens de rest na deling door $8$ te bepalen. Als die rest $7$ is, dan kan het niet, en anders wel.

Twee kwadraten Uiteraard zijn er ook getallen die je als som van twee kwadraten kan schrijven. Hier zijn er een stuk minder van. Bij nummers $2$ en $8$ (tabellen 1 en 2) die Willem voorgelegd kreeg, lukt dat wel. Willem vond er één van. Bij $70 \,480$ kan het ook anders: $228^2 + 136^2$. En $26\,693$ deed Willem met drie kwadraten, maar het kan met twee: $118^2 + 113^2$. De van oorsprong Franse wiskundige Girard (later werkzaam in Leiden) opperde in 1625 het volgende vermoeden: $n$ is de som van twee kwadraten dan en slechts dan als voor de ontbinding van $n$ in priemfactoren, zeg $n = p^{e_1}_1 \times p^{e_2}_2 \times \cdots \times p^{e_k}_k$, geldt dat $e_i$ even is als deling van $p_i$ door $4$ rest $3$ geeft. De traditionele bewijzen hiervoor (die ruim een eeuw op zich lieten wachten) zijn best lastig, maar onlangs is er een heel begrijpelijk visueel bewijs gevonden.

Het zoeken naar twee kwadraten die sommeren tot een gegeven getal $n$ kun je ook zien als een meetkundig probleem: vind roosterpunten (dus met gehele coördinaten) op de cirkel met straal $r = \sqrt{n}$. Dit volgt direct uit de stelling van Pythagoras, immers voor punten $(x, y)$ op de cirkel met straal $r$ geldt $x^2 + y^2 = r^2 = n$. Sommen van drie kwadraten corresponderen met roosterpunten op een bol met straal $\sqrt{n}$. En voor vier kwadraten zou je de figuur een hyperbol in vier dimensies kunnen noemen.

Oplossingen tellen

Laten we het even hebben over het tellen van oplossingen. De volgorde van de getallen in een oplossing doet er niet toe (optellen is immers commutatief). Willem schrijft ze in het algemeen op van groot naar klein. Dat zullen wij ook doen. We tellen oplossingen afgezien van volgorde. Zo zijn $25, 50, 65$ en $85$ de enige getallen van twee cijfers die op twee manieren te schrijven zijn als som van twee kwadraten:

$25 = 5^2 + 0^2 = 4^2 + 3^2$
$50 = 7^2 + 1^2 = 5^2 + 5^2$
$65 = 8^2 + 1^2 = 7^2 + 4^2$
$85 = 9^2 + 2^2 = 7^2 + 6^2$

Er bestaan formules die bij gegeven $n$ vertellen hoeveel oplossingen er zijn voor sommen van twee, drie of vier kwadraten. Maar die zijn wat lastig. We kunnen echter eenvoudig schatten hoeveel oplossingen er gemiddeld zijn voor sommen van twee kwadraten. Zie hiertoe het kader en figuur 1. Voor wat grotere waarden van $N$ is het aantal roosterpunten, dat strikt binnen de cirkel met straal $r = N$ ligt, ongeveer de oppervlakte van die cirkel: $\pi r^2 = \pi N$. We willen ons bij het tellen beperken tot coördinaten met $0 \le x \le y$. Om te beperken tot $0 \le x < y$ kunnen we delen door $8$: $\pi N/8$. Daar moeten nog de oplossingen met $x = y$ bij. Dit zijn er ongeveer $\frac{r}{\sqrt2} = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt2}$ (de roosterpunten op de diagonale lijn $x = y$ binnen de cirkel in figuur 1). Dat levert als totaal aantal oplossingen voor de $N$ waarden $0 \le n < N: \frac{\pi N}{8} + \sqrt{\frac{N}{2}}$. Dus het gemiddelde aantal oplossingen per waarde van $n$ is $\frac{\pi}{8} + \frac{1}{\sqrt{2N}}$. Voor grote waardes van $N$ heeft dit als limiet $\frac{\pi}{8} \approx 0{,}393$. Via computeranalyse komt het totaal aantal oplossingen voor getallen van vijf cijfers op $35\,532$, dus gemiddeld

$$\frac{33\,532}{90\,000}\approx 0{,}395.$$

Die schatting was nog zo gek niet. Voor sommen van drie en vier kwadraten kun je ook zulke schattingen maken. Hierbij stijgt het gemiddelde aantal bij stijging van $n$. Computeranalyse leert dat voor de $90\,000$ getallen met vijf cijfers er $2\,715\,144$ manieren zijn om ze als som van drie kwadraten te schrijven (gemiddeld ongeveer $30$ per getal) en $131\,439\,841$ als som van vier kwadraten (gemiddeld $1\,460$).

Vier kwadraten

Terug naar vier kwadraten. Hierbij zijn er in het algemeen veel oplossingen. Uit voornoemde analyse met de computer blijkt dat onder alle getallen van vijf cijfers het getal $90\,090$ de meeste oplossingen heeft: $6648$ stuks. Willem ziet hiervan desgevraagd meteen een oplossing: $300^2 + 9^2 + 3^2$. En dat kun je zo uit het hoofd controleren. Het kleinste aantal is één oplossing, wat het geval is voor

$$14\,336, \hspace{1em}24\,576, \hspace{1em}32\,768, \hspace{1em}57\,344, \hspace{1em}98\,304$$

$(\star)$

Dit lijken misschien lastige getallen, tot je het aan Willem vraagt. Die ziet meteen dat ze deelbaar zijn door een groot kwadraat. Zo is $14\,336$ deelbaar door $32^2 = 1024$, en derhalve hebben we:

$$14\,336 = 14 \times 32^2 = (1^2+2^2+3^2)\times 32^2=32^2 + 64^2 + 96^2.$$

Deze techniek is algemeen toepasbaar. Als we weten dat $n = a \times b^2$ en we schrijven $a$ als som van vier kwadraten, zeg $a=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2$, dan zien we met wat algebra

$$n=a\times b^2 = (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2 \times b^2 = (a_1\times b)^2 + (a_2\times b)^2 + (a_3\times b)^2 + (a_4\times b)^2$$

ook hoe we $n$ als som van vier kwadraten kunnen schrijven. Het is dus handig om eerst het grootste kwadraat $b^2$ uit $n$ te delen en dan $\frac{n}{b^2}$ op te lossen en al die getallen met $b$ te vermenigvuldigen. In tabel 2 blijkt dat bij Willems wereldrecord in vier gevallen $n = a \times b^2$ is met $b > 1$. We weten niet of Willem dat ook heeft gebruikt.

Hier blijkt de kracht van algebra, waarmee je in een klap voor oneindig veel getallen kan begrijpen dat iets ‘werkt’. Nog zo’n algebraïsch inzicht is het volgende. Stel we weten $$n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$$ dan geldt $$2n = (a + b)^2 + (a - b)^2 + (c + d)^2 + (c - d)^2.$$

Een heel andere vraag die mogelijk bij je opkomt (goede vragen stellen is de kern van wiskundig onderzoek) is waarom er nullen worden toegelaten. Want daarmee heb je feitelijk een som met minder dan vier kwadraten. Helaas blijken er dan enkele getallen niet meer mogelijk te zijn, namelijk bovengenoemde getallen $(\star)$ waarvoor maar één oplossing bestaat. Die zijn allemaal alleen maar een som van twee of drie positieve kwadraten (of meer dan vier).

Hoe gaat Willem te werk?

Hoe Willem werkt weten we (nog) niet precies. Een aantal van zijn rekentechnieken heeft hij beschreven in De kunst van het hoofdrekenen (2017, zie ook Pythagoras 57-1), maar niet hoe hij getallen als som van vier kwadraten schrijft. Willem werkt niet als een computer die een algoritme volgt. Hij heeft een fenomenaal geheugen en kent van veel getallen allerlei eigenschappen die handig zijn bij het rekenen ermee. Daardoor ‘ziet’ hij dingen waar wij flink voor moeten rekenen. Hoewel er meestal veel oplossingen zijn, houdt dat niet in dat ze eenvoudig te vinden zijn. Willem hoeft natuurlijk slechts één oplossing te vinden. Als we Willems oplossingen in tabel 1 bestuderen, dan kan er wel wat opvallen. Ze beginnen allemaal met een relatief groot kwadraat, terwijl de rest een orde kleiner is. Wat is het grootste getal dat in een oplossing voor $n$ denkbaar is? Dat is de wortel van $n$ naar beneden Dit getal hebben we $r$ genoemd in tabel 2. In die tabel staat in kolom $m$ het grootste getal dat werkelijk voorkomt in een oplossing.

Op het $4^e$ getal na heeft Willem telkens een oplossing gevonden met dat grootste getal $m$. Dat $4^e$ getal is bijzonder, en ik denk dat Willem dit meteen ‘zag’ en niet hoefde uit te rekenen. Kijk maar eens naar zijn mooie oplossing. Er is nog iets dat opvalt, zeker als je met de computer voor meer $n$-en de bijbehorende $m$ en $r$ bepaalt. Heel vaak geldt dat $m = r$ of $m = r - 1$. Een enkele keer is dat niet zo, maar alleen als $n$ een viervoud is: $$10\,112 = 96^2 + 24^2 + 16^2 + 8^2$$ terwijl de wortel van $10\,112$ naar beneden afgerond $100$ is. Inderdaad blijkt het volgende te gelden:

Stelling: als $n, r \in \mathbb{N}$ waarbij $n$ niet deelbaar is door $4$ en $r^2 \le n < (r+1)^2$ dan geldt dat er $n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{N}$ bestaan met $$n=n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2$$ waarbij $n_4 = r$ of $n_4 = r-1.$

Hier is een bewijs.

Stel dat $n$ niet deelbaar is door $4$ en $r^2 \le n < (r + 1)^2$. We laten zien dat $n - n_4^2$ te schrijven is als som van drie kwadraten, met $n^4 = r$ of $n^4 = r - 1$. Volgens de drie-kwadratenstelling van Legendre volstaat het om te laten zien dat $n - n_4^2$ niet van de vorm $4^k(8m + 7)$ is. Merk op dat bij zo’n getal de rest na deling door $4$ óf $0$ is (als $k \ne 0$), óf $3$ is (als $k = 0$), en nooit $1$ of $2$.

Merk bovendien op dat van $r$ en $r - 1$ er precies één even en de ander oneven is. Noem het even getal $v$ en het oneven getal $w$.

Merk op dat de rest bij deling door $4$ van $v^2$ gelijk is aan $0$, en van $w^2$ gelijk aan $1$ is. Zie maar: schrijf $v = 2a$, dan geldt $v^2 = (2a)^2 = 4a^2$ en schrijf $w = 2a + 1$, dan geldt $w^2 = (2a + 1)^2 = 4a(a + 1) + 1$.

$n$ geeft bij deling door $4$ als rest $1$ of $2$ of $3$.

$n - v^2$ geeft bij deling door $4$ als rest $1$ of $2$ of $\fbox{3}$.

$n - w^2$ geeft bij deling door $4$ als rest $\fbox{1}$ of $2$ of $3$.

De omkaderde uitkomsten moet we vermijden (immers dan is $n - n_4^2$ mogelijk niet te schrijven als som van drie kwadraten, maar anders wel).

Als de rest bij deling door $4$ van $n$ gelijk aan $1$ is, kies dan $n_4 = v$. Als de rest bij deling door $4$ van $n$ gelijk aan $2$ is, kies dan $n_4 = \max(v, w)$. Als de rest bij deling door $4$ van $n$ gelijk aan $3$ is, kies dan $n_4 = w$.

Einde bewijs. (De stelling geldt zelfs iets algemener, namelijk als $n$ niet deelbaar is door $8$. Kijk maar eens of je dat kan beredeneren.)

Je kunt wat rekenen aan hoe groot $n - n_4^2$ kan zijn voor vijf-cijferige $n$. Merk op dat $316^2 \le 99\,999 < 317^2$. Het verschil $99\,999 - 316^2$ is ‘slechts’ $143$. De ‘slechtste’ $n$ is $316^2 - 1$, waarvoor $r = 315$, en dan is $n - (r - 1)^2 = 1259$. Getallen van hooguit deze grootte moeten dus geschreven worden als som van drie kwadraten. Meestal zelfs een getal met hooguit drie cijfers. Dat is nog steeds niet makkelijk, maar wel iets makkelijker dan voor vijf cijfers. Vaak werkt ook hier $r$ of $r - 1$, maar zeker niet altijd. Neem bijvoorbeeld $n = 862 = 23^2 + 18^2 + 3^2$ met $r = 29$. Deze kun je tegenkomen als je $n = 97\,583$ probeert te schrijven als som van vier kwadraten: $311^2 + 23^2 + 18^2 + 3^2$.

Al met al kleven er aan die sommen met kwadraten heel wat onderzoeksvragen. In de loop van vele jaren zijn hier nog talloze varianten op onderzocht, zoals het probleem van Waring: hoeveel termen zijn er nodig om elk getal als som van derde machten te schrijven? En vierde machten? Van dit soort vragen is nog lang niet alles bekend.

Uit deze verkenning is ook gebleken dat veel gebieden van de wiskunde nauw samenhangen: getaltheorie (getallen schrijven als som van vier kwadraten), meetkunde (oppervlakte van cirkels), algebra (kwadraten buiten haakjes halen) en combinatoriek (de kunst van het tellen). Wie wat meer van getaltheorie wil weten verwijs ik graag naar Getaltheorie - een inleiding van Frits Beukers, waarvan hoofdstuk 12 geheel gewijd is aan sommen van kwadraten.

Bart van Overbeeke Fotografie