Het is fantastisch om te werken in de hedendaagse wiskunde

Het is fantastisch om te werken in de hedendaagse wiskunde

Wiskunde is een heel boeiend onderzoeksgebied, maar dan wat voor onderzoek doet een wiskundige dan eigenlijk?

We spraken met Misja Steinmetz, postdoc aan de Universiteit Leiden. Hij werkt in de getaltheorie, dat is de wiskunde die zich grof gezegd bezig houdt met alle natuurlijke (dat zijn positieve gehele) getallen. Maar hoe werkt dat nou precies? "Onderzoek doen betekent dat je eigenlijk best vaak met potlood en papier achter je bureau zit en zo problemen oplost. Het lijkt eigenlijk heel erg op wat je op school doet, alleen zijn de opgaven een stuk moeilijker geworden en weet meestal niemand wat de oplossing is."

"Mijn wiskundeleraar was een natuurkundige en ik was in de vierde erg aan het twijfelen of ik wiskunde of natuurkunde moest studeren en vroeg hem om raad. Hij zei: 'Daar in Zwitserland met de large-hadron collider zijn ze met zulke interessante dingen bezig, ga liever natuurkunde studeren, in de wiskunde is alles al opgelost.' Maar in de zomervakantie tussen de vierde en de vijfde las ik een boek over een beroemd wiskundige, Andrew Wiles, die een moeilijk probleem had opgelost in de jaren '90. Het boek heette De laatste stelling van Fermat. Andrew Wiles loste een probleem op dat al sinds honderden jaren niemand kon oplossen. Ik vond dit boek zo inspirerend dat ik toch wiskunde wilde studeren om later in de hedendaagse wiskunde te werken. Ik heb er nooit spijt van gekregen dat ik wiskunde ben gaan studeren. Andrew Wiles is sindsdien één van mijn helden, want toen hij begon aan dit probleem leek het bewijs van deze stelling onhaalbaar. Het heeft zeven jaar geduurd voor hij het probleem had opgelost."

   

De laatste stelling van Fermat

Fermat stelde rond 1620 het volgende: er zijn geen positieve gehele getallen, noem ze $a, b$ en $c$, die voldoen aan de vergelijking $a^n + b^n = c^n$, voor een zekere $n = 3, 4, 5, \dots$ . Voor het geval $n = 2$ zijn die getallen er wel: we hebben dan de stelling van Pythagoras met als oplossing voor bijvoorbeeld $a = 3, b = 4$ en $c = 5$ of $a = 5, b = 12$ en $c = 13$. Maar volgens Fermat vind je geen oplossingen voor $n = 3, 4, 5, \dots$ . Andrew Wiles bewees in de jaren '90 dat $a^n + b^n = c^n$ alleen oplossingen heeft als $n = 2$.
 

"Toen dit probleem werd opgelost heeft de BBC een documentaire gemaakt over het bewijs en daarvoor beroemde getaltheoretici geïnterviewd. Een aantal daarvan zeiden: 'Bijna 400 jaar heeft het geduurd om dit probleem op te lossen, wat staat ons te wachten nu het opgelost is?' Het bleek dat het oplossen van dit probleem het begin was van veel nieuwe stromingen in de getaltheorie."

"Vandaag de dag zijn er zeker nog veel onopgeloste problemen in de wiskunde, en zeker ook in de getaltheorie. Het beroemdste onopgeloste probleem is de Riemannhypothese. Dat probleem gaat grof gezegd over de verdeling van priemgetallen. Een priemgetal is een getal dat alleen deelbaar is door $1$ en door zichzelf, en het moet groter zijn dan $1$. De kleine priemgetallen kent iedereen: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$. Het op dit moment grootst bekende priemgetal (gevonden in december 2018) is $2^{82 589 933} - 1$ (een getal met $24 862 048$ cijfers en een zogenaamd Mersennepriemgetal). Er zijn oneindig veel priemgetallen en ze vormen de bouwstenen van alle andere gehele getallen, want elk geheel getal kun je ontbinden in priemfactoren. $10$ kun je bijvoorbeeld schrijven als $2 \cdot 5$, en je kunt het niet verder ontbinden. De priemgetallen zijn dus fundamenteel, daarom willen we kijken of we er een structuur in kunnen herkennen. De grote uitdaging is dat priemgetallen zich willekeurig lijken te gedragen. Wat je wel kunt doen is het volgende: je geeft me een getal, stel $100$, en ik kijk naar het aantal priemgetallen kleiner dan $100$.

Dan geef je een steeds groter en groter getal. De vraag is: is het waar dat naarmate deze getallen groter worden het percentage van priemgetallen op een bepaalde functie lijkt? Het antwoord is ja, we kunnen deze functie schatten, maar als we het heel nauwkeurig willen schatten dan moeten we de Riemannhypothese bewijzen."

Priemgetallen zijn ook voor veel toepassingen heel belangrijk, precies vanwege het feit dat ze de bouwstenen vormen van alle andere getallen. "Het eerste voorbeeld dat ik me nu voor de geest kan halen is dat als je inlogt op internetbankieren dan heb zo'n slotje in je browser staan, dit slotje beveiligt je data met behulp van priemgetallen."

Maar er zijn nog veel meer onopgeloste problemen! Als je dan een beetje gaat zoeken op Wikipedia, kom je een lange lijst met onopgeloste problemen in alleen al de getaltheorie tegen, zoals: zijn er oneindig veel priemtweelingen, priemvierlingen, sexy priemgetallen (twee priemgetallen met verschil 6) en Mersennepriemgetallen? Kijk bijvoorbeeld naar de priemtweelingen, dat zijn twee priemgetallen waarvan het verschil gelijk is aan $2$, bijvoorbeeld $(3,5)$, $(5,7)$, $(11,13)$, $(101,103)$. De priemtweelingen worden zeldzamer en zeldzamer, dus je verwacht misschien dat er maar eindig veel priemtweelingen zijn. "Het lijkt alsof je in een woestijn van leegte ineens een priemtweeling tegen komt. Toch denken we dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Zolang we dit niet kunnen bewijzen blijft het een onopgelost probleem, maar in de afgelopen tien jaar zijn we steeds dichter bij een oplossing gekomen."

Een oplossing van de Riemannhypothese lijkt op dit moment net zo ver weg als de laatste priemtweeling. Misschien zijn de tijd en de wiskunde nog niet rijp om dit probleem aan te pakken. Misja's wiskundedocent had in ieder geval geen gelijk, er zijn nog heel veel onopgeloste problemen in de wiskunde die wachten op een oplossing. Dat je constant nieuwe puzzels en nieuwe bevindingen tegenkomt in de wonderbare wereld der getallen maakt het zo fantastisch om te werken in de hedendaagse wiskunde.