Een bekend rijtje uit het vorige artikel, met telkens sommen van twee kwadraten, is het drietal $72 = 6^2 + 6^2$, $73 = 3^2 + 8^2$, $74 = 5^2 + 7^2$.

Dat kunnen we nu dus op een triviale manier uitbreiden tot een zevental van telkens drie kwadraten. Maar het lukt in dit geval ook zonder $0^2$ te gebruiken.

Opgave 1 Laat zien hoe de getallen $72$, $73$, $74$, $75$, $76$, $77$, $78$ allemaal op niet-triviale wijze, dus zonder gebruik van $0^2$, geschreven kunnen worden als sommen van drie kwadraten. En toon aan dat het met $71$ en $79$ niet lukt. (Het antwoord komt terug aan het slot van dit artikel, maar probeer het eerst zelf.)

Met het grotere aantal kwadraten en langere rijtjes dan in het vorige artikel, en dus veel meer variabelen, wordt het systematisch construeren van niet-triviale rijtjes lastiger. Daarom beginnen we dit artikel met het stellen van algemene vragen. Hierboven zien we, met of zonder $0^2$, telkens een rijtje van zeven, maar geen acht of negen. Dat roept natuurlijk al een vraag op.

Is 7 het maXimale Aantal opEenvOlgende GetaLlen die elk de som zijn van drie kwadraten?

We gaan aantonen dat er inderdaad geen langere rijtjes mogelijk zijn. Bekijk daartoe getallen van de vorm $n = 8m + 7$, met m een geheel niet-negatief getal. In elk rijtje van acht kom je één keer zo een getal tegen. Willen we n als som van drie kwadraten schrijven, dan krijgen we

$$8m+7=4(2m+1)+3=p^2+q^2+r^2.$$

Het linkerlid is oneven en is een viervoud plus drie. Daaruit volgt dat $p$, $q$ en $r$ alle drie oneven moeten zijn, dus: $p = 2s + 1$, $q = 2t + 1$, $r = 2u + 1$.

Dat geeft na invullen

$$4(2m+1)+3=4(s^2+s+t^2+t+u^2+u)+3$$

ofwel

$$2m+1=s^2+s+t^2+t+u^2+u.$$

Het linkerlid is oneven en het rechterlid even, want een vorm $s^2 + s$ is altijd even. Dus geldt dat $8m + 7$ niet te schrijven is als de som van drie kwadraten. We kunnen de algemene conclusie trekken dat de maximale lengte van een rijtje $7$ is. En ook dat elk rijtje begint met een $8$-voud. Met ons voorbeeld van de serie $72$ tot en met $78$ hebben we al zo’n rijtje gevonden. In dat voorbeeld kunnen we met $m = 8$ schrijven: $71 = 8 \times 8 + 7$, en met $m = 9$ evenzo $79 = 8 \times 9 + 7$. Dus geen van beide een som van drie kwadraten.

Welke getalLen zijn nog meer niet te sChrijven als Som van drie kwadraten?

Met behulp van de conclusie van de vorige paragraaf dat $8m + 7$ niet te schrijven is als som van drie kwadraten kunnen we nu een vervolgstap nemen. We gaan eerst aantonen dat getallen van de vorm $n = 4 (8m + 7)$ ook niet zo te schrijven zijn. Veronderstel dat dit wel zou kunnen. Dan zouden we hebben:

$$4(8m+7)=p^2+q^2+r^2.$$

Het linkerlid is even en is een viervoud. Even kwadraten zijn ook een viervoud en oneven kwadraten zijn een viervoud+1. Daaruit volgt dat in het rechterlid de getallen $p$, $q$ en $r$ alle drie even moeten zijn, anders kunnen we van de som van de drie kwadraten geen viervoud maken. Dus we kunnen een factor $4$ uitdelen en schrijven:

$$8m+7=\left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2$$

met $\frac{p}{2}$, $\frac{q}{2}$ en $\frac{r}{2}$ gehele getallen. Maar dan hebben we $8m + 7$ geschreven als een som van drie kwadraten en we hadden in de vorige paragraaf gezien dat dit niet kan. Dus onze veronderstelling is niet juist en ook $4(8m + 7)$ is geen som van drie kwadraten.

Met deze vondst kunnen we vervolgens de redenering herhalen voor $4^2(8m + 7)$, enzovoorts. De conclusie is dat alle getallen van de vorm $n = 4^k(8m + 7)$ niet geschreven kunnen worden als som van drie kwadraten. Dus het is noodzakelijk om deze vorm uit te sluiten.

Algemene bewijzen

Het uitsluiten van de vorm $4^k(8m + 7)$ blijkt ook een voldoende voorwaarde te zijn om een getal te kunnen schrijven als som van drie kwadraten, bij alle andere getallen lukt dat wel. Dit is voor het eerst bewezen door Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Helaas moeten we vaststellen dat de wiskunde om aan te tonen dat er geen andere getallen zijn die niet geschreven kunnen worden als som van drie kwadraten ons in dit tijdschrift boven de pet gaat. Een vergelijkbare (maar iets ingewikkeldere) noodzakelijke en voldoende voorwaarde om een getal te kunnen schrijven als som van twee kwadraten werd al besproken in Pythagoras 55-1 en gaat terug op werk van onder anderen Pierre de Fermat (1601-1665) en Leonhard Euler (1707-1783).

Zijn er oneindig veel rijtjes van zeven?

Uit de vorm $4^k(8m + 7)$ vinden we voor oplopende $k$ en $m$ als eerste getallen die geen som zijn van drie kwadraten:

$$7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, 79, 87, 92, 95, 103, 111, 112, 119, 124, 127, 135, 143, \dots$$

Sommige hebben $k = 0$ en andere een hogere $k$. De tussenliggende rijtjes hebben verschillende lengtes. We zien vooral veel zeventallen. Ook veel kortere rijtjes (daarover straks meer), maar inderdaad geen langere. We gaan aantonen dat er oneindig veel rijtjes van zeven opeenvolgende getallen zijn die allemaal de som zijn van drie kwadraten. Het is daarbij handig om eerst te kijken naar alle getallen van $0$ tot en met $4p$, met $p \ge 3$. We bepalen hoeveel rijtjes van zeven opeenvolgende getallen erin zitten waarvan elk getal de som is van drie kwadraten. Wij weten al dat de eerste twee rijtjes de lengte 7 hebben.

Het eerste rijtje is $0$ tot en met $6$: $0 = 0^2 + 0^2 + 0^2$, $1 = 0^2 + 0^2 + 1^2, \dots$, $6 = 1^2 + 1^2 + 2^2$. Hier moesten we, als triviale mogelijkheid, de nul gebruiken. Voor het getal $7$ lukt het niet. Het tweede zevental is $8$ tot en met $14$ : $8 = 0^2 + 2^2 + 2^2, \dots$, $14 = 1^2 + 2^2 + 3^2$.

Opgave 2 Vul zelf voor deze twee zeventallen de stippeltjes in en laat zien dat dit bij het getal $9$ zelfs op twee manieren kan.

Alle rijtjes van zeven worden gevolgd door een getal $8m + 7$, dus door een getal dat niet te schrijven is als de som van drie kwadraten, zoals blijkt uit de formule $n = 4^k(8m + 7)$ met $k = 0$. Het aantal $A$ van zulke rijtjes binnen de grens $4^p$ is

$$A=\frac{4^p}{7+1}=2\times 4^{p-2}.$$

Als nu binnen elk van deze $A$ rijtjes alle getallen inderdaad geschreven zouden kunnen worden als som van drie kwadraten, gaat het aantal rijtjes natuurlijk naar oneindig wanneer $p$ naar oneindig gaat. Maar we hebben voor de getallen die niet zo te schrijven zijn ook nog alle mogelijke waarden van $n = 4^k(8m + 7)$ met $k > 0$. Deze waarden kunnen in een van de $A$ rijtjes van zeven terechtkomen. Zo’n rijtje mogen we dan natuurlijk niet meer meetellen, omdat het dan korter wordt of in twee kortere rijtjes uiteenvalt (dat zagen we hierboven bijvoorbeeld gebeuren in de lengtes van de rijtjes na 23 en 28). Het werkelijke aantal $N$ zal dus zeker kleiner zijn dan $A$.

Om te zien hoeveel rijtjes we uit $A$ moeten schrappen moeten we dus de hogere waarden van $k$ bekijken. Neem om te beginnen $k = 1$. Om binnen de grens $4^p$ te blijven moet dan wel gelden $4(8m + 7) < 4^p$. Dit leidt tot:

$$m < \frac{4^{p-1}-7}{8}=2\times 4^{p-3}-\frac{7}{8}.$$

Het aantal waarden $B(k = 1)$ dat m kan aannemen vanaf $0$ tot en met $2 \times 4^{p-3} - 1$ (de breuk $7/8$ mogen we natuurlijk afronden) is $B(k = 1) = 2 \times 4^{p-3}$. Zoveel rijtjes moeten we dus schrappen. Neem vervolgens $k = 2$. Dat levert met $4^2(8m + 7) < 4^p$ dan $B(k = 2) = 2 \times 4^{p-4}$. Ook dit aantal rijtjes moeten we schrappen. De algemene formule voor het bij vaste $k$ te schrappen aantal rijtjes wordt evenzo

$$B(k)=2\times4^{p-2-k}.$$

Deze aantallen $B(k)$ nemen steeds verder af, tot uiteindelijk $B(p - 2) = 2$ voor $k = p - 2$. Het kan wel zijn dat we met oplopende $k$ op deze manier rijtjes willen schrappen die bij lagere $k$ al geschrapt waren. Dan zouden we dubbel tellen en gaan er in werkelijkheid minder rijtjes af. Maar als we naar het maximale aantal te schrappen rijtjes zoeken mogen we deze mogelijkheid toch negeren. Dat maximale aantal van te schrappen rijtjes is dus de som $B$ van alle $B(k)$ vanaf $k = 1$ tot en met $k = p - 2$. Hierin herkennen we de meetkundige reeks $B = 2 \times (1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{p-3}$), met de bekende formule voor de som:

$$B=2\times\frac{4^{p-2}-1}{4-1}=\frac{2\left(4^{p-2}-1\right)}{3}.$$

Het aantal rijtjes $N$ van lengte $7$ dat na schrappen overblijft, rijtjes die dus alleen getallen bevatten die wel de som van drie kwadraten zijn, is dus minstens $A - B$:

$$N\ge A-B=2\left(4^{p-2}-\frac{4^{p-2}-1}{3}\right)=\tfrac{2}{3}(A+1).$$

Je ziet dat van alle $A$ oorspronkelijke rijtjes van zeven er na schrappen tenminste twee-derde deel overblijft waarin elk getal wel te schrijven is als de som van drie kwadraten. Als we $p$ steeds groter maken, gaat $N$ naar oneindig. Daarmee is het bewijs compleet.

Van tweE naAr dRie kwaDraten

Kunnen wij na deze algemene bewijzen nu ook een oneindig aantal niet-triviale zeventallen construeren, net zoals dat in het vorige artikel lukte voor de drietallen? Het zoeken naar $7\times 3$ kwadraten is uiteraard veel lastiger dan het zoeken naar $3\times 2$ kwadraten. Maar met gebruikmaking van een oplossing voor de drietallen lukt een eenvoudig voorbeeld toch. Aan het begin bespraken we het bekende drietal opeenvolgende getallen $72$, $73$, $74$ uit ons eerdere artikel, elk de som van twee kwadraten: $g = 72 = 6^2 + 6^2$, $g+1 = 73 = 3^2 + 8^2$, $g + 2 = 74 = 5^2 + 7^2$. Je hebt in opgave 1 zelf kunnen ontdekken hoe dit kleinste niet-triviale drietal uitgebreid kan worden naar een niet-triviaal zevental met telkens drie kwadraten:

$h$	$=$	$72$	$=$	$2^2+2^2+8^2$
$h+1$	$=$	$73$	$=$	$1^2+6^2+6^2$
$h+2$	$=$	$74$	$=$	$1^2+3^2+8^2$
$h+3$	$=$	$75$	$=$	$1^2+5^2+5^2$
$h+4$	$=$	$76$	$=$	$2^2+6^2+6^2$
$h+5$	$=$	$77$	$=$	$2^2+3^2+8^2$
$h+6$	$=$	$78$	$=$	$2^2+5^2+7^2$

Zoals je ziet gebruiken we hier in $h+1$ en $h+4$ de twee kwadraten van $g$, in $h+2$ en $h+5$ die van $g+1$, in $h+3$ en $h+6$ die van $g+2$ en tellen er telkens $1^2$ of $2^2$ bij op. We konden zo alleen maar een zevental maken doordat $g = 72$, een som van twee kwadraten, ook als som van drie kwadraten geschreven kan worden; inderdaad is $72$ niet van de vorm $4^k(8m + 7)$. Maar als $72$ zowel een som van twee als van drie kwadraten is, dan geldt dit uiteraard ook na vermenigvuldiging met een willekeurig kwadraat: $72n^2 = (6n)^2 + (6n)^2 = (2n)^2 + (2n)^2 + (8n)^2$. Daarmee kunnen we dan een zevental $(h, h+1, \dots, h+6)$ construeren volgens hetzelfde schema als hierboven, mits $(6n)^2 + (6n)^2$ de eerste term is van een drietal $(g, g+1, g+2)$. We gaan nu gebruiken dat in het vorige artikel $72$, $73$, $74$ (het geval $n=1$) het eerste drietal was in een oneindige serie niet-triviale drietallen $g = a^2 + a^2$, $g+1 = (a + x)^2 + (a - x - 1)^2$, $g + 2 = (a + 1)^2 + (a - 1)^2$ met $a$ van de vorm $x(x + 1), x = 2, 3, 4, \dots$ . Telkens als $6n = x(x + 1)$ hebben we dan drietallen gevonden binnen deze serie die ook het begin zijn van een zevental. Dit is het geval voor $x = 2, 3, 5, 6, 8, 9, \dots$, telkens als $x$ of $x + 1$ deelbaar is door $3$. Dus voor twee-derde van deze oneindige serie niet-triviale drietallen. Het eerste zevental na $72, \dots, 78$ dat we zo vinden begint met het drietal $288, 289, 290$. Dit voorbeeld, waarbij een oneindige serie drietallen met twee kwadraten niet-triviaal en volgens een vast recept is uit te breiden naar een oneindige serie zeventallen met drie kwadraten, illustreert al dat bij overgang naar drie kwadraten de mogelijkheden toenemen.

Hoe vinden we alLe oploSsingen?

Om deze vraag te beantwoorden moeten we verder kijken dan bovenstaand recept. Wij hadden bijvoorbeeld $74$ en $75$ zonder $0^2$ ook kunnen schrijven als $74 = 3^2 + 4^2 + 7^2$, $75 = 5^2 + 5^2 + 5^2$.

Opgave 3 Schrijf het drietal en het zevental dat begint met $288$ uit volgens het recept van de vorige paragraaf. Laat zien dat opnieuw sommige getallen op meerdere niet-triviale manieren te schrijven zijn als som van drie kwadraten: $289$ op twee manieren, $291$ op drie manieren en $290$, $293$ en $294$ zelfs op vier manieren.

Bovendien zagen we eerder dat er tussen de zeventallen beginnend met $72$ en met $288$ nog heel veel andere zeventallen beginnen, bijvoorbeeld met $80, 96, 104, 128, \dots$,

Opgave 4 Ga na dat de getallen $80$, $85$ en $100$ alleen met gebruik van $0^2$ te schrijven zijn als sommen van drie kwadraten, en dat dus de rijtjes beginnend met $80$ en $96$ triviale zeventallen zijn.

 Het eerste niet-triviale zevental na $72$ tot en met $78$ blijkt te beginnen met $104$:

$104$	$=$	$2^2+6^2+8^2$
$105$	$=$	$1^2+2^2+10^2=4^2+5^2+8^2$
$106$	$=$	$3^2+4^2+9^2$
$107$	$=$	$1^2+5^2+9^2=3^2+7^2+7^2$
$108$	$=$	$2^2+2^2+10^2=6^2+6^2+6^2$
$109$	$=$	$3^2+6^2+8^2$
$110$	$=$	$1^2+3^2+10^2=2^2+5^2+9^2=5^2+6^2+7^2$

Van deze getallen zijn alleen $104$, $106$ en $109$ elk te schrijven als som van twee kwadraten (ga dit zelf na). Je ziet dus dat een rijtje van zeven opeenvolgende getallen, elk de som van drie kwadraten, geen uitbreiding hoeft te zijn van een rijtje van drie opeenvolgende getallen die elk de som zijn van twee kwadraten. Bovendien zijn er ook binnen dit zevental meerdere niet-triviale oplossingen voor de drie kwadraten. In feite blijken er, zowel voor drietallen met twee kwadraten als voor zeventallen met drie kwadraten, veel oplossingen buiten de door ons gegeven recepten. Als je voor steeds grotere eindige getallen alle mogelijkheden wilt nagaan moet je de wiskundige voorwaarden die door Euler en door Legendre zijn ontdekt in een computerprogramma schrijven. Dat leidt tot veel oplossingen die je anders niet gemakkelijk zou vinden; bijvoorbeeld voor het zevental vanaf $104$ (met dank aan Leendert Suttorp voor deze computerberekeningen). In ieder geval hebben wij in dit artikel kunnen bewijzen dat er ook voor sommen van drie kwadraten oneindig veel rijtjes opeenvolgende getallen zijn, dat ze nooit langer zijn dan $7$ en we hebben een voorbeeld van een oneindige serie niet-triviale rijtjes van zeven kunnen construeren.

 

Bekijk oplossing