Littlewood-nulpunten, vernoemd naar John Edensor Littlewood, zijn nulpunten van functies
$±x^n ± x^{n–1} ± ... ± x ± 1.$
Dit blijkt het interessantst als we niet alleen naar reële nulpunten kijken, maar ook naar complexe: die van de vorm $a + bi$, waarbij we stellen dat $i$ een wortel is uit –1 (dus $i^2$ = –1). Zo is $ℓ = \frac{1}{2} √2 + \frac{1}{2}√2 i$ een Littlewood-nulpunt, want je kunt narekenen dat $ℓ^2 = i$ en dus $ℓ^4 + 1 = 0$, waaruit volgt dat
$$ℓ^7 + ℓ^6 + ℓ^5 + ℓ^4 + ℓ^3 + ℓ^2 + ℓ + 1 =$$
$$(ℓ^3 + ℓ^2 + ℓ + 1)(ℓ^4 + 1) = 0.$$
Een complex getal $a + bi$ tekenen we als een punt $(a, b)$ in het gebruikelijke $xy$-vlak. Zo wordt onze ℓ het punt $(\frac{1}{2} √2, \frac{1}{2}√2)$, en het getal $m = – \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}√5$ wordt $(– \frac{1}{2} + \frac{1}{2}√5, 0)$. (Overigens is $m$ ook een Littlewood-nulpunt, want het is een nulpunt van $x^2 + x – 1$.)
In het artikel ‘Littlewood-nulpunten in beeld’ (Pythagoras 54-4, februari 2015; zie ook het archief op http://www.pyth.eu) ging het om de vraag hoe de verzameling van alle Littlewood-nulpunten eruitziet, dus de collectie van alle punten $(a, b)$ met de eigenschap dat er een $n$ en een verzameling tekens ± bestaat, zodat $x = a + bi$ voldoet aan $$±x^n ± x^{n–1} ± ... ± x ± 1 = 0.$$ De prachtige plaatjes in dat artikel zijn gemaakt door de Sloveense wiskundige Andrej Bauer. Die plaatjes zijn gebaseerd op een heel klein deel van alle nulpunten, namelijk alleen degene die je krijgt door in de functies $±x^n ± x^{n–1} ± ... ± x ± 1$ het getal n hooguit 26 te laten zijn (en wel alle mogelijkheden voor de tekens ± te nemen). In de figuur bovenaan zie je (nogmaals) een plaatje van Bauer. Dit plaatje geeft alle nulpunten in het complexe vlak weer; waar het zwart is, ligt geen enkel nulpunt, en naarmate de kleur oranje lichter wordt neemt het aantal nulpunten toe
Sommige eigenschappen van figuur 1 zijn makkelijk te begrijpen. Zo is de figuur puntsymmetrisch. Immers, is $a + bi$ een nulpunt van de functie $f(x)$, dan is $–a – bi$ nulpunt van $f(–x)$, en dat is eveneens een functie van de soort die we hier bekijken.

Een andere mooie eigenschap is dat met $(a, b)$ óók $(a, –b$) een punt in het nulpuntenplaatje is. Dat komt door een algemene eigenschap van de hier bekeken functies: geldt $f(a + bi) = 0$, dan is ook $f(a – bi) = 0.$

Vreemde eigenschappen

Maar Bauers nulpuntenplaatje heeft ook vreemde eigenschappen. Zo zit er bijvoorbeeld een ‘gat’ rond het punt (1, 0), en (iets kleiner) ook rond (0, 1), en rond $(– \frac{1}{2} , \frac{1}{2}√3)$. Door hier iets langer over na te denken, ga je zien dat dit wel heel merkwaardig is.

Neem (1, 0), horend bij het getal $1 + 0i = 1$. Dat is een Littlewood-nulpunt, want 1 voldoet aan $x – 1 = 0$ en ook aan $x^3 – x^2 + x – 1 = 0$ en aan $x^5 – x^4 + x^3 – x^2 + x – 1 = 0$ en ga zo maar door.
Erger nog, beginnen we met een nulpunt als $m = – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} √5$ (zie hierboven), dan is ook $w = √m$ een Littlewood-nulpunt. Immers, door in de vergelijking die we voor m hebben $m = w^2$ te substitueren, zie je $w^4 + w^2 – 1 = 0.$ Daaraan zie je nog niet dat $w$ een Littlewood-nulpunt is, maar als we deze gelijkheid met $w + 1$ vermenigvuldigen, staat er
$$w^5 + w^4 + w^3 + w^2 – w – 1 = 0.$$
Dit kunnen we herhalen: $w = v^2$ invullen in de laatste uitdrukking, dan keer $v + 1$, en ook de wortel van $w$ blijkt een Littlewood-nulpunt, enzovoort enzovoort. Zo zien we een rij steeds groter wordende Littlewood-nulpunten, beginnend bij $m = – \frac{1}{2} + \frac{1}{2}√5≈ 0,618$, door herhaald de wortel te nemen. Die nulpunten hopen zich op bij 1.
In een plaatje verwacht je dus dat je op de horizontale as heel veel punten zal zien, zeker in de buurt van 1. Maar bij 1 zit juist een gat! Hoe is dat mogelijk? Er zijn twee redenen te geven.
Ten eerste levert de boven geschetste methode wel heel veel nulpunten dicht bij 1, maar de $n$ in de bijbehorende functie wordt ook steeds groter naarmate we in de constructie dichter bij 1 komen. En Bauer beperkte zich tot betrekkelijk kleine waarden voor $n$.

Ten tweede blijkt er een absurde reden te zijn waarom Bauers nulpuntenplaatje geen punten op de horizontale as toont. Hijzelf zegt: “I deleted the line. This is known as ‘artistic freedom’.” (zie http://math.andrej.com/2014/10/16/tedx-zeroes). Kennelijk vindt hij van het plaatje de artistieke kanten belangrijker dan de wiskundige aspecten.

Zelf hebben we een computer de Littlewoodnulpunten van polynomen met $n ≤ 30$ laten tekenen (zie figuur 2). Meer hierover kun je vinden in de bachelorscriptie van een van ons. Een van de resultaten in die scriptie is: de enige reële Littlewood-nulpunten van de soort $a + b√d$ met $a$ en $b$ rationaal, en $d$ een natuurlijk getal, zijn $±1$ en $±\frac{1}{2} ± \frac{1}{2} √5.$

Figuur 2

Diverse technieken

De Franse wiskundige Thierry Bousch bewees in 1988 enkele prachtige eigenschappen van Littlewood-nulpunten. We noemen er hier twee.
De eerste gaat over ‘samenhang’ van de collectie punten $(a, b)$ in het vlak, waarvoor geldt dat $a + bi$ een Littlewood-nulpunt is. Deze collectie blijkt niet uit meerdere op afstand van elkaar liggende stukken te bestaan. Namelijk, voor elke van te voren afgesproken maximale stapgrootte ε > 0 geldt het volgende: zijn $a + bi$ en $c + di$ Littlewood-nulpunten, dan bestaat er een $N$ en een rij punten
$$P_0, P_1, P_2, ..., P_N$$ met $P_0 = (a, b)$ en $P_N = (c, d)$, en elke $P_j = (a_j, b_j)$ hoort bij een Littlewood-nulpunt $a_j + b_j i$, en de afstand tussen elke twee opeenvolgende punten $P_j$ en $P_{j+1}$ is hoogstens ε .
Je kan dus van $P$ naar $Q$ springen, via allemaal Littlewood-nulpunten, met sprongetjes kleiner dan of gelijk aan ε .
Een ander resultaat van Bousch is dat je zo dicht als je maar wilt bij elk punt $(x, y)$ waarvoor geldt dat $\frac{1}{2} √2 ≤ x^2 + y^2 ≤ √2$ een Littlewood-nulpunt kunt vinden. Met andere woorden: bij elk punt van de ring tussen de beide cirkels $x^2 + y^2 = \frac{1}{2} √2$ en $x^2 + y^2 = √2$ hopen de Littlewood-nulpunten zich op.
De ‘gaatjes’ om punten als (1, 0) en (0, 1) die je ziet als je je beperkt tot bijvoorbeeld $n ≤ 26$, verdwijnen dus als ook grotere waarden voor de graad $n$ bekeken worden.
Naast de prachtige plaatjes is wel een van de meest fascinerende aspecten van dit onderwerp dat er heel diverse technieken uit allerlei wiskundige disciplines een rol in blijken te spelen.

Meer info: bachelorscriptie Littlewood polynomials door M. Roelfszema, zie http://irs.ub.rug.nl/dbi/559b7fa257d81