Sieraadvormen
Vorig jaar bezocht ik CODA: een bibliotheek, museum en archief onder één dak in Apeldoorn. Een van de tentoonstellingen ging over de goudsmid en sieraadontwerper Nicolaas Thuys (1927-1989). De tentoonstelling Veranderende vormen liet zien hoe deze kunstenaar rond het jaar 1965 zijn stijl van rijkelijk gedecoreerde bloem- en diervormen transformeerde in geometrische en meer abstracte vormen.
In een van de vitrines lag een A4’tje met getekende vormen van vier achter elkaar geplaatste staafjes. De vier staafjes scharnierden in de lengte achter elkaar en mochten alleen hoeken van een veelvoud van 45 graden met elkaar maken. Op deze pagina staan een paar voorbeelden van deze vormen.
Thuys telde overlappende vormen met de vier staafjes, zoals die in het rood, niet mee. Ook spiegelbeelden en draaiingen gaven geen nieuwe vormen, vond hij. Op het A4’tje tekende Thuys vijftig ontwerpen van dit type, en schreef erbij: ‘Er zijn gemakkelijk minstens vijftig verschillende ontwerpen te maken met deze voorwaarden’. Dat klopt. Wij gaan uitzoeken hoeveel het er precies zijn.
Opdracht 1. Zoek drie nog niet gegeven vormen met precies twee hoeken van 90 graden tussen de staafjes.
Opdracht 2. Zoek vijf nog niet gegeven vormen met (drie) gelijke hoeken.
Opdracht 3. Zoek zeven nog niet gegeven vormen met ongelijke hoeken, maar niet die van 180 graden.
Systematisch zoeken
Om het aantal vormen te bepalen, moeten we natuurlijk systematisch te werk gaan. Uitgaande van het eerste staafje en een richting (we nemen: verticaal naar beneden), kunnen we daarna voor het tweede staafje uit zeven mogelijkheden kiezen: het aantal graden 45, 90, 135, 180, 225, 270 en 315. We noteren dit met de cijfers 1 tot en met 7 (zie figuur 1). Ook de richting van het derde en vierde staafje associëren we met een van de cijfers 1 tot en met 7.
De zwarte vorm krijgt daarmee code 127 (zie figuur 2). Let op: om de richting van een staafje te bepalen, gaan we altijd uit van de situatie waarbij het staafje ervóór verticaal naar beneden wijst. De zwarte vorm heeft dus niet code 172.
De codes van de blauwe, groene en paarse vorm zijn achtereenvolgens 135, 171 en 222. De code van de rode vorm (die niet is toegestaan) is 111. Nu hoeven we ‘alleen’ nog maar alle $7^3 = 243$ codes langs te lopen en te kijken welke vormen er bij horen. Gelukkig zijn er codes equivalent. Zo is bijvoorbeeld de vorm van code 761 (maar ook die van 167 en 721) dezelfde als de vorm die bij 127 hoort, op basis van spiegeling en rotatie.
Na een grondige inventarisatie kom ik tot 99 verschillende vormen, waarvan er 11 overlappend (en dus niet toegestaan) zijn. Inderdaad: meer dan vijftig vormen!
Op de volgende twee pagina’s staan alle 99 sieraadvormen met bijbehorende codes. Van de elf die niet meetellen, is de code rood gedrukt.
Opdracht 4. Zoek alle vormen bij een keuze van drie staafjes.
