De volle vaatwasser

De volle vaatwasser

De familie Van der Torus is een heel normale, gemiddelde familie. Voor zover een familie van wiskundigen normaal kan zijn. Kom je zelf uit een wiskundig gezin of ben je een (mogelijk toekomstige) wiskundige, dan kun je je ervaringen, vragen en ideeën delen met de familie Van der Torus via email naar fam.v.d.torus@pyth.eu.

Aan het eind van de middag staat het huis van de familie Van der Torus weer op z'n kop. Milli komt uit school, Micro was bij een klasgenootje spelen en is thuis afgezet en ook Pi en Phi zijn net gearriveerd vanuit hun werk (zonder paraplu; zie kader). Micro staat verloren met een paar sportschoenen in de hand nog op de deurmat. 

"Waar moeten mijn gympen ook alweer?" Micro kijkt verdwaald rond.

"Waar je ze vanochtend vandaan hebt gehaald. Op het schoenenrek," antwoordt Pi.

In de keuken zet Milli een broodtrommel en een beker op het aanrecht.

"Die horen daar niet, Milli," corrigeert Phi meteen. "Die mogen in de vaatwasser." 

"Maar de vaatwasser is vol!" klaagt Milli. 

"Dan mag jij die vandaag uitruimen!" zegt Phi met een glimlach.

Milli klaagt uitgebreid maar komt niet onder het klusje uit. Na wat uitstellen, moet Milli er toch aan geloven. De vaatwasser ruimt zichzelf niet uit en het klusje wordt er niet
leuker op door het uit te stellen. Gelukkig is er één troost: morgen is de beurt aan Micro. 

Milli begint aan de opgedragen taak, maar loopt al snel tegen een probleem aan. Waar in de kast moet dit schone bord precies?

Onderaan de stapel? Bovenop? Ergens in het midden? Met stapels borden en bakjes is het makkelijker om ze van bovenaf te pakken en bovenop terug te zetten dan van onderaf pakken en onderop terugzetten. Het nadeel van telkens aan dezelfde kant wegnemen en terugzetten is dat de borden en bakjes aan die kant dan vaker gebruikt worden en harder slijten dan die aan de andere kant. Bovendien vangen de borden en bakjes aan de andere kant wel stof, maar worden ze minder vaak afgewassen. Hoe pak je dat aan? Wat is een goede strategie? En wat als het lastig is om met iedereen afspraken te maken en er op te vertrouwen dat men zich daar aan houdt?

Volgende keer bespreken we de oplossing.

OplosSing pAraPlu

Pi en Phi wandelen naar het werk. Ze willen netjes aankomen, en gebruiken daarom een paraplu als het onderweg regent. Maar ze willen zo min mogelijk nodeloos met een paraplu lopen. Dus als het 's ochtends droog is, dan gaan ze liever zonder paraplu. Alleen wat doe je dan als het op het einde van de middag alsnog regent?

Hun oplossing is heel eenvoudig. Ze hebben elk een tweede paraplu gekocht en die op hun werk neer gezet. De ander staat gewoon thuis. Als je op een wandeling
regen verwacht, dan neem je de paraplu die daar staat mee. En de volgende keer dat je weer de andere kant uit gaat, neem je die paraplu (of de ander) mee terug, of het nou gaat regenen of niet.

Iets wiskundiger uitgelegd, zeggen we dat we de volgende relatie invariant houden: op de plek waar je bent (thuis of het werk) staat altijd minstens één paraplu. Als deze relatie inderdaad geldt, dan kun je dus altijd bij vertrek een paraplu meenemen (als het regent). Maar als je naar een plek gaat waar geen paraplu staat, dan moet je een paraplu meenemen, om te zorgen dat de invariant blijft gelden, ongeacht of het regent. Je moet bij deze oplossing dus wel af en toe onnodig met een paraplu wandelen. Maar toch niet zo vaak als wanneer je maar één paraplu hebt. En als je dat erg vindt, dan kun je wat meer paraplu’s kopen. Als je er maar tijdig aan denkt om
de invariant te handhaven. Daarbij kun je natuurlijk ook meer dan één paraplu tegelijk meenemen, al zullen de mensen dan misschien wel denken, "Hé, daar loopt er
zeker een van de familie Van der Torus". En als je dat erg vindt, zorg dan voor een oneindige voorraad paraplu's op beide plaatsen.  

 

Generalisaties

In deze oplossing zijn de paraplu’s niet essentieel. Hij is ook bruikbaar voor fietsers die niet altijd een regenpak willen meeslepen. Koop er twee! En denk aan die invariant. In het kluisje van Milli ligt altijd minstens één regenpak (en soms twee). En het geldt ook voor reservebatterijen voor je fietsverlichting. Zorg ervoor dat ze op beide plekken liggen en handhaaf de invariant. 

Ook het aantal locaties is niet essentieel. De oplossing werkt ook als je regelmatig tussen meer dan twee, zeg $N$, locaties op en neer wandelt. Dan heb je (minstens)
$N$ paraplu’s nodig. Je moet dan wel goed onthouden hoeveel paraplu’s er op elke locatie zijn, want om de invariant te handhaven moet je bij vertrek weten of op je bestemming een paraplu aanwezig is. Nog interessanter wordt het als er meer personen naar die locaties komen en willen vertrouwen op een paraplu.